如果一组勾股数中，除了1以外，没有其他公因子，这组勾股数就称为素勾股数。比如3、4、5是素勾股数，而6、8、10就不是素勾股数。上面我们给出了求勾股数的公式，为了方便地说明普林斯顿322号，不妨将公式稍加改变就得到求素勾股数的公式：
2＝2uv，b＝u（上标2）－v（上标2），c＝u（上标2）＋v（上标2）
其中u和v互质，奇偶不同，并且u＞v。比如u＝2，v＝1就满足互质、u是偶数、v为奇数、u＞v的条件，将它们代入公式得：
a＝2×2×1＝4，b＝2（上标2）－1（上标2）＝3，c＝2（上标2）＋1（上标2）＝5，即3、4、5为一组素勾股数。
数学家算出来普林斯顿322号的u和v，并列在表2的右侧。
这个发现令人震惊，难道在三千多年前，古巴比伦人就找到了求素勾股数的一般方法了？难道说这些数就是他们研究成果的记载？如果不是，所列为什么大部分都是素勾股数？
从目前的研究来看，谁也下不了结论。
二千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，已经属于数学史上的伟大创举，如果巴比伦人真的在更早的时间就找到了素勾股数，那将是更伟大的事情。因为用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事！要想揭开普林斯顿322号之谜，恐怕只好依赖对巴比伦遗址的进一步发掘。
数字“冰雹”
让我们先来做一个游戏：
你随便取一个自然数，如果它是偶数，就用2去除它；如果它是奇数，将它乘3之后再加1，这样反复运算，你会发现，最终必然得1。
比如，取自然数N＝6。6是偶数，要先用2除，6÷2＝3；3是奇数，要将它乘3之后再加1，3×3＋1＝10；按照上述法则续往下做：10÷2＝5，5×3＋1＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
用—个大一点的数运算，结果还是这样吗？取自然数N＝16384。你会发现这个数连续用2除了14次，最后还是得1。
上面用的两个数都是偶数，奇数是不是这样的呢？
取自然数N＝19。按照上面的法则来算，可以得到下面一串数字：
19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
经过20步，最终也变为最小的自然数1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题。数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们通过大量演算发现最后结果总是得1。于是，数学家便提出如下一个猜想：
对于任一个自然数N，如果N是偶数，就把它变成N／2；如果N是奇数，就把它变成3N＋1。按照这个法则运算下去，最终必然得1。
这个猜想最初是由哪位数学家提出来的，已经搞不清楚了，但似乎并不古老。20世纪30年代，德国汉堡大学的学生考拉兹就研究过它。1952年一位英国数学家独立发现了它。几年之后它又被一位美国数学家所发现。自世纪50年代起，这个问题一再引起人们的广泛兴趣。
在日本，这个问题最早是由角谷静夫介绍到日本的，所以日本人称它为“角谷猜想”。1960年角谷静夫初次听到这个问题，他说：“有一个月，耶鲁大学每一个人都在研究这个问题，但没有任何结果。我到芝加哥大学提出这个问题之后，也出现了同样现象。有人开玩笑说，这个问题是企图减缓美国数学进展的一个阴谋。”足见这个问题的吸引力之大。
人们争先恐后地去研究这个猜想，一遍遍地进行运算，在运算过程中发现，算出来的数字忽大忽小，有的计算过程很长。比如从27算到1，需要112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷结冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉了下来，变成了1。因此人们又给这个猜想起了个形象的名字——冰雹猜想。诱人的“数字冰雹”把研究者的热情一点点地变冷了，很多人退了出来，仍在坚持研究的人，至今还是证明不出来。这一串串数难道一点规律也没有吗？
有。研究者惊喜地发现，每串数的最后3个数都是4→2→1。
为了验证这个事实，从1开始算一下：
3×1＋1＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。结果是从1→4→2→1转了一个小循环又回到了1。不论从哪个自然数开始，经过漫长的历程，几十步、几百步、几千步，最终都要掉进1→4→2→1这个循环中去。有的数学家开玩笑说，1→4→2→1是个“数字陷阱”，掉进去就别想出来！
日本东京大学的米田信夫对2（上标40）（大约相当于1．2万亿）以下所有的自然数在电子计算机中逐一进行了验算，最后无一例外地都以1→4→2→1结束。
虽然人们对大量的自然数做了验算，但是“大量”并不能代替“全体”，要知道自然数有无穷多个，靠验算是验算不完的，必然找出一般规律（数学上常常用公式表示）。也许1→4→2→1这个“陷阱”能成为解决该问题的突破口。
现代数学趣题
1．自行车和苍蝇
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20千米的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车迳直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。
如果每辆自行车都以每小时10千米的高速前进，苍蝇以每小时15千米的高速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少千米？
答案
每辆自行车运动的速度是每小时10千米，两者将在1小时后相遇于20千米距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15千米，因此在1小时中，它总共飞行了15千米。
许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。
据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰·冯·诺伊曼提出这个问题，他思索片刻便给出正确的答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。
冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的正是无穷级数求和的方法”，他解释道。
2．一圈硬币
这种游戏的玩法是，取任意数目的筹码（可以是硬币、棋子、石子或小纸片等），把它们摆成一个圆圈。两位游戏者轮流从中取走一枚或两枚筹码，但如果是取走两枚筹码，这两枚筹码必须相邻，即它们中间既无其他筹码，也无取走筹码后留下的空当。谁取走最后一枚筹码谁胜。
如果双方都玩得有理，谁肯定能获胜？他应该采用什么样的策略？
答案
后手如果采用下述的两步策略，他就总能获得这个游戏的胜利：
（1）当先手取走一枚或两步策略，圆圈的某一个位置将出现单独的空当。于是，后手从圆圈中与这个空当相对的一侧取走一枚或两枚筹码，使得余下的筹码被两个空当分成数目相等的两群。
（2）从这往后，无论先手从哪一群中取走一枚或两枚筹码，后手总是相应地从另一群中取走相同数量的筹码。
如果你实践一下下面给出的游戏过程的例子，就可以明白这种策略。这里的数字是圆圈中筹码依次的编号。
先手 后手
8 3
1，2 5，4
7 9
6 10（胜）
试用这种策略对付你的朋友，你很快就会发现，为什么无论用多少筹码摆成圆圈，后手总能立于不败之地。
3．三枚硬币
乔：“我向空中扔3枚硬币。如果它们落地后全是正面朝上，我就给你10美分。如果它们全是反面朝上，我也给你10美分。但是，如果它们落地时是其他情况，你得给我5美分。”
吉姆：“让我考虑一分钟。至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚硬币情况不同，则第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚不是与这两枚情况相同，就是与它们情况不同。第三枚与其他两枚情况相同或情况不同。第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性是一样的。因此，3枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的。但是乔是以10美分对我的5美分来赌它们的不完全相同，这分明对我有利。好吧，乔，我打这个赌！”
吉姆接受这样的打赌是明智的吗？
答案
吉姆打这个赌是不太明智的。他的上述推理是完全错误的。
为了弄清3枚硬币落地时情况完全相同或不完全相同的可能性。我们必须首先列出3枚硬币落地时的所有可能的式样。总共有8种式样。
每种式样出现的可能性都与其他式样相同。注意只有两种式样是3枚硬币情况安全相同。这意味着，3枚硬币情况完全不同的可能性是八中有二，即2／8，可简化为1／4。
3枚硬币落地时情况不完全相同的式样有6种。因此其可能性是6／8，即3／4。
换句话说，乔的打算是，从长远的观点看，他每扔4次硬币就会赢3次。他赢的3次，吉姆总共要付给他15美分。吉姆赢的那一次，他付给吉姆10美分。这样每扔4次硬币，乔就获利5美分——如果他们反复打这个赌，乔就有相当可观的赢利。
