在他关于素数的论文中，他提出了著名的黎曼猜想。素数就是除了1及本身之外就没有其他因子的数，素数又叫质数。18世纪30年代，欧拉引进了齐打函数，黎曼把齐打函数的定义域扩大到复数域上，他要研究什么样的复数s，能使ζ（s）=0，他在文章里给出了下面著名的猜想：“所有的非实数的复数s使得ζ（s）=0，必定在直线Re（s）=12上。”
黎曼猜想提出后，许多数学家都尝试解答，黎曼首当其冲。即使在贫困和疾病的困难面前，他也坚持自己的研究，没有放弃。遗憾的是在他有生之年并没有解决这个问题。
著名的英国数学家哈地与黎曼猜想还有一个有趣的故事。哈地从不信仰宗教，也不参加宗教活动，他自认为“上帝是他的敌人”。有一年的夏末，哈地要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，哈地担心船会出事，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单地写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈地。”事实上，他并没有证明黎曼猜想，他为什么这样说呢？
原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真地解决了这个世界上的数学难题，哈地也从此享有了这个崇高的荣誉。但是，哈地觉得上帝是他的仇人，上帝一定不会让他享有解决这个著名难题的声誉，因此上帝会想办法不让船沉下去，这样哈地就可以平安回到英国。这个明信片其实是他自制的救命护身符。哈地认为是黎曼假设救了他。他的想法虽然可笑，但也看出黎曼假设对他有着多么深刻的影响。
一百多年过去了，这个数学难题像冰山一样屹立在那里，多少学者呕心沥血，仍然没有攻克它。德国著名的数学家希尔伯特在老年时曾被人问一个有趣的问题：“假定你去世后一两年能复活，您会做什么呢？”希尔伯特回答：“我会先问黎曼猜想是否已经获得解决了？”
20世纪七大数学难题之一的黎曼猜想，从提出到现在已经一百多年了，许多数学家为此付出了巨大的努力。虽然它仍没有被真正攻克，然而，科学在发展，相信在不远的将来，我们一定能听到科学家们胜利的呐喊声。
庞加莱猜想
庞加莱猜想是21世纪七大数学难题之一。困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”，最终由中国数学家彻底揭开了它的面纱。
庞加莱出生于法国，被誉为“最后一位数学全才”。他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作。
20世纪初，庞加莱是在一组论文中提出这样的猜想：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹胀的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹胀气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于20世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球——这就是庞加莱猜想。
一百多年来，科学家们不断地努力，使庞加莱猜想有了一些进展。巨大的困难没有吓倒他们，科学家们前仆后继，一点一点地积累成果。20世纪80年代初，美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展，作出了巨大的贡献。新世纪伊始，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。
我国数学家丘成桐把这比喻成盖楼房，前人打基础，后人在基础之上继续作业。但是最后的“封顶”工作是由中国人完成的。
消息传出后，全国很是振奋。庞加莱猜想的难度不亚于黎曼猜想，而重要程度甚于哥德巴赫猜想。这个举世瞩目的难题最后由我们解开，这能不让我们兴奋吗？
当记者采访这个研究项目的功臣朱熹平和曹怀东教授时，他们谦虚地表示，能够加入到这个研究领域，学习这些东西，这已经是种荣幸。其实我们也只是在科学研究的路程中有幸捡到一块石头而已，周围还有很多“高手”，因此我们取得的成果不算什么。他们还特别提到，是前人的努力和研究所同事的共同努力，才有了今天的成绩。
庞加莱猜想的解决，在数学猜想中是比较完整的证明。它的证明不仅为数学界作出了贡献，而且振奋了民族精神，增强了民族自豪感。世界的目光再一次聚焦在中国数学界。
20世纪初由庞加莱提出的庞加莱猜想，历经了一个世纪后终于由我国数学家成功地解开了。这是我们的骄傲，它将激励更多青年数学家为数学研究作出贡献。
西尔维斯特猜想
数学史上有这样一件趣事，名流权威所解决不了的问题，却被“无名小卒”解决了，这就是西尔维斯特问题。
西尔维斯特是19世纪英国著名的数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想（即西尔维斯特问题）：平面上给定n个点（n≥3）。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。
这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至连西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”，是因为《美国科学新闻》、《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字，而且证明非常容易，连初中生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
用反证法。假设这n个点不在同一条直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的。
不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有：
h1AB+h2AC＞h（AB+AC）＞hBC由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一条直线上。
凡人也有伟人所不可及的智慧，你相信自己吗？
卡迈克猜想
众所周知，费尔马小定理的逆定理是不成立的，1819年，法国数学家沙路斯首先发现，虽然341整除2^340-1，但是341=11×31，却是合数。像这样的数称为伪素数，已经证明伪素数有无穷多个。
人们自然会想到，如果n能够整除一切形如a^（n-1）-1（a与n互素）的数，则n总该是素数。结果并不如此简单，竟然有这样的数n，它能整除所有的a^（n-1）-1（a与n互素）。这种极端的伪素数就称为卡迈克数，因为美国数学家卡迈克首先研究了这种极端伪素数，他发现561能整除一切a^（n-1）-1（a与n互素）的数，但是561=3×11×17，卡迈克还得出了一个判定卡迈克数的定则：
（1）n不包含平方因数
（2） n是奇数，至少含有三个不同的素因数
（3）对于n的每一个素因数，n-1能被p-1整除
例如，8911=7×19×67，显然满足条件（1）、（2），7-1=6、19-1=18、67-1=66都能整除8911-1=8910，即满足条件（3），故8911是卡迈克数。
不超过100000的16个卡迈克数如下：
561，1105，1729，2465，2821，6601，8911，10585，15841，29341，41041，46657，52633，62745，63973，75361。
一直困惑人们的问题是：
（1）如前述，以a为底的伪素数有无穷多，但同时以两个不同正整数a，b为底的伪素数是否也有无穷多？尚不知晓，甚至连a=2，b=3的特殊情形也没有解决。
（2）卡迈克数是否有无穷多个？
这就是有关卡迈克数的猜想。
谜一样的数字究竟引发了人们几多思考？它的未来与求证急切地需要你的参与。
莱默猜想
莱默，20世纪美国著名数学家。
莱默的贡献主要在数论领域，他也是一位计算数学家。他对卢卡斯函数、连分式、伯努利数与多项式、丢番图方程、数值方程、解析数论、模形式、筛法以及计算技术等都有研究。他曾解决过数论中的不少问题，如大整数的分解与是否素数的检验，并发现了伪平方数。他第一个用电子计算机对黎曼f函数的根进行了大规模计算，得到了临界线上前1万个零点，后又增加到2万5千个零点。
莱默猜想究竟如何呢？
同余式 MM′= 1 （mod p）…… （1）其中p为奇素数，它的解的情形与性质，显然是使用中国剩余定理的一个重要问题。
设 M=np+r，M′=n′p+r′，其中0<r<p，0<r′<p，则有MM′=rr′（mod p），因此解同余式MM′=1 （mod p），只需考虑M与M′介于0与p之间的解。例如，p=13时，对应的解有（M，M′）=（1，1），（2，7），（3，9），（4，10），（5，8），（6，11），（7，2），（8，5），（9，3），（10，4），（11，6），（12，12）。
其中（1，1）是显而易见的，无论p为何值，（1，1）都是（1）式的解，称为平凡解。人们更关心非平凡解的性质。美国著名数学家莱默（D.H.Lehmer，1905- ）希望人们关注M与M′的奇偶性相反的解，将其解的个数记为Np。例如，N13=6，即（2，7），（5，8），（6，11），（7，2），（8，5），（11，6）。
现在已经求出N3=0，N5=2，N7=0，N11=4，N13=6，N17=10，N19=4，N23=12，N29=18，N31=4。
莱默由此归纳出：
当p=4n-1时，Np能被4整除，即Np=0 （mod 4）；
当p=4n+1时，Np被4除余2，即Np=2 （mod 4）。
莱默不仅希望人们关注M与M′的奇偶性相反的解，更希望人们从此爱上数学，爱上科学。
玻璃杯问题
巴尼在汽水柜台工作，他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题。巴尼说：“这一排有10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着，请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错，条件是只允许移动4只杯子。”两位顾客看了看巴尼，又看了看杯子，摇了摇头，不知道怎么办。巴尼说：“好吧，我来告诉你们，只要分别把第二只杯子和第七只杯子，第四只杯子和第九只杯子交换一下位置就成了。”
这时，奎贝尔教授正好走到柜台前，看到了他们的把戏，并且来了点小花招。奎贝尔教授说：“何必移动四只杯子，我只要移动两只就够了，你看可不可以。”巴尼纳闷地瞧着奎贝尔教授，不明就里。奎贝尔教授说：“其实很简单，只要拿起第二只杯子，把里面的汽水倒进第七只杯子，再拿起第四只杯子，把里面的汽水倒入第九只杯子就行了。”
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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