使用GDP时间序列的指数函数模型预测未来5年GDP增长趋势存在着一定的局限性，下面我们将探索建立税收收入总量和GDP之间的关系模型，引入1990-2008年间的税收总量的变化规律，对应着税收总量预测未来5年的GDP增长趋势。
以往预测产出的方法多为建立线性函数，如科布-道格拉斯生产函数对生产函数进行经验估计，像对需求函数进行估计一样，需要选择适当的函数形式。生产函数最常用的形式是幂函数。由于在20年代后期，美国有两位经济学家科布(C.W.Cobb)和道格拉斯(P.H.Douglas)对这种函数做了大量研究并取得了成功，所以，这种函数也被称为科布-道格拉斯生产函数。这种生产函数形式在经济上和数学上有一些重要的特征。它的对数形式是一个线性函数，对数形式为logQ＝loga＋blogＫ＋clogＬ。它属于齐次生产函数。它的变量K，L的指数ｂ，c，正好分别是K，L的产量弹性。即对生产函数Q＝aＫbＬc来说，如果K增长1%，产量将增长b％；如果L增长1％，产量将增长c％。这样，只要把参数b，c估计出来，就能很容易地根据K和L的变化来测算Q的变化，它的对数形式是一个线性函数，但是在复杂的经济环境中，如税收总量和GDP总量之间的关系是非线性的，因此在使用线性函数方法时不能很好地将二者之间的关系反映出来，而BP神经网络模型对于处理这种非线性问题有着较强的应用性。
本节用BP神经网络模型来模拟中国GDP增长趋势。BP神经网络模型即反向传播网络（Back‐PropagationNetwork，以下简称BP）是应用最广泛的一类人工神经网络。BP网络现已成功地应用于模式识别、预测预估、图像与语音变换、数据压缩以及自动控制等领域。据我所知，本文是国内首次在经济增长研究领域应用BP神经网络模型。
1.BP神经网络模型的原理在复杂的经济环境中，税收总量和GDP总量之间的关系是非线性的，因此在使用描点拟合方法时不能很好地将二者之间的关系反映出来。而BP神经网络模型对于处理这种非线性问题有着较强的应用性。
人工神经网络是大量简单神经元联接而成的非线性复杂网络系统。利用神经网络模型可以实现函数逼近、预测、数据聚类、模式识别及优化计算等功能。BP神经网络模型是将Widrow-Hoff学习规则泛化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层前向网络。BP网络称的“反向”是指误差的反向传播，实际上它的主要“信息流”（数据流）仍然是前向的。
BP 算法是由两部分组成：信息的正向传播与误差的反向传播。在正向传播过程中，输入信息从输入端经隐含层逐层计算传向输出层，每一层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。如果在输出层没有得到期望的输出，则计算输出层的误差变化值，然后转向反向传播。通过网络将误差信号沿原来的连接通路反传回来修改各层神经元的权值直至达到期望目标，满足对误差的要求。
通俗一点说，就是，变量之间的关系是非线性的，我们想模拟得到变量之间相互关系的表达式，首先设定系数的模拟值与真实值的误差，然后开始模拟，见图6‐12，输入层和输出层之间是转换函数。当模拟出的系数值达不到我们所设定的误差（比如1%）范围之内时，那么输出的值就会再返回去再次模拟，如此反复输出、返回，直到输出的模拟值达到我们所设定的与系数的真实值的误差范围，得出最接近真实情况的表达式。这个结果相当于是我们人为“训练”出来的。
在图6‐12中，p1p2….pr代表输入层神经元，w1，1w1，2…w1，r代表每一个输入神经元的系数，隐藏层神经元的输出为a1j=f1(w1，jp1j+b1)，输出层的神经元为a2j=f2(w2，jp2j+b2)。信号的正向传递过程中，BP的下一层是接受上一层的输出作为输入。
2.模拟方法
以1978-2008年逐年实际税收收入总量作为输出层，1978-2008年的实际GDP总量作为目标层。输入层数据经过隐藏层计算，得到输出层数据，输出层与目标层之间存在误差，说明网络的权值不合适，应当修正。然后修正误差从输出层开始，对各层的系数进行修正。经过多次的修正，也就是网络的训练过程，使得输出层与目标层之间的误差达到显着性水平0.01，过程演示见图6‐13。训练好的网络以税收收入作为输入层，GDP作为输出层，可以用来进行税收总量和GDP总量关系的模拟和仿真。
在输入层和输出层中间设置一个隐藏层，采用双曲正切转移函数（见图6‐14a），输出层采用线性转移函数（见图6‐14b）进行BP网络训练和模拟（具体结构如图6‐15）。
BP网络采用的S形转移函数f1和f2是一个连续可微的函数，存在一阶导数。对于多层网络，这种转移函数划分的区域不再是线性划分，而是由一个非线性的超平面组成的区域。它是比较柔和、光滑的任意界面，因而它的分类比线性划分准确、合理，这种网络的容错性较好。另外的一个重要特点是：由于转移函数是连续可微的，它可以严格利用梯度法去进行推算，它的权值修正的解析是十分明确。
3.中国GDP总量增长趋势5年预测
利用BP神经网络模型预测未来5年中国GDP的增长趋势，首先需要对中国未来5年税收收入总量的增长进行情景分析——分别在四种不同情况下，即税收收入总量呈现指数增长、税收收入总量以1990-2008年的年平均增长率增长、税收收入总量以2004-2007年的年平均增长率增长以及税收收入总量以印度1990-2008年的年平均增长率增长时，未来5年中国GDP的各自的增长趋势。
1）税收收入总量呈现指数增长
对中国1990-2008年的税收总量做散点图（见图6‐16），分析这19年来中国税收收入总量的变化规律。
由图6‐16可以看出，税收总量呈现指数级快速增长。假设中国的税收总量持续指数增长，应用非线性回归指数模型对中国1990-2008年税收收入总量进行趋势线模拟，可以得到税收收入总量随时间变化的指数函数，参见图6‐17。
税收总量指数函数模型：
y=4E+10e0.1183x
R2=0.9677
此模型通过显着性水平为0.01的t检验。
应用此模型预测2009-2013年的中国税收总量，进而带入已经训练完的BP神经网络进行模拟，得到中国2009-2013年的GDP增长趋势，参见图6‐18。
（2）税收总量以1990-2008年的年平均增长率增长
假设中国的税收总量增长率维持在1990-2008年间增长率的平均水平（11.84%），则可以依据此增长率计算2009-2013年的中国税收收入总量，进而带入已经训练完的BP神经网络进行模拟，得到中国2009-2013年的GDP增长趋势，见图6‐19。
（3）税收总量以2004-2007年的年平均增长率增长
假设中国的税收总量增长率维持在2004-2007年这4年的增长率平均水平（16.20%），则可以依据此增长率计算出2009-2013年的中国税收总量，进而带入已经训练完的BP神经网络进行模拟，得到中国2009-2013年的GDP增长趋势，见图6‐20。
（4）税收收入总量以印度1990-2008年的年平均增长率增长
我们再假设一种有趣的情况，即当中国突然开始遵循印度的税收收入增长轨迹，那么未来5年GDP的增长情况将会是怎样？于是，假设中国的税收收入总量以印度1990-2008年的年平均增长率（7.88%）增长，则可以依据此增长率计算2009-2013年的中国税收收入总量，进而带入已经训练完的BP神经网络进行模拟，得到中国2009-2013年的GDP增长趋势，见图6‐21。
4.中国情况小结现将以上几个BP神经网络模型模拟出的结果做一小结，详见表6‐1、6‐2、6‐3和图6‐22。表6‐1不同税收收入增长情景下税收收入总量的增长率税收增长情景税收增长率（%）
中国1990-2008平均增长率11.84中国2004-2007平均增长率16.20印度1990-2008平均增长率7.88表6‐22009-2013年不同的税收增长情景下中国税收总量预测单位：美元情景年份指数增长中国1990-2008平均增长率中国2004-2007。
表6‐32009-2013年不同税收增长情景下中国GDP预测单位：美元情景
年份指数增长中国1990-2008
平均增长率中国2004-2007
平均增长率印度1990-2008
