进一步对其底牌范围进行精确预测后就可以看出，“律师”的决定对我们来说可不是什么好消息。按照贝叶斯定理，最关键的是要考虑条件概率。比如，如果“律师”的底牌是K? J?，而公共牌又使他凑成一对K，那么他继续跟注的可能性会有多大？（几乎可以肯定的是，他至少已有一副对牌才会跟注，那么他还会加注吗？）如果他的底牌小于我们的一对8，比如说是7? 7?，那么他跟注而非弃牌的可能性又有多大呢？还是那句话，如果我们的时间充裕，就能够把1 326种可能性一一列出，然后对我们的预测进行相应地修改（表10–2）。
而我们的实际预测并不能如图所示那样精确。但根据“律师”的表现，我们还是能够推断出一些有关他的底牌的广泛概率表征：“律师”的底牌能够与那3张公共牌构成很好的组合，他可能会组合出一对K甚至更大的对子，这种情况的概率占到约30%——除非备受压力，拥有一副好的底牌是不会轻易弃牌的。另外，“律师”的底牌小于一对K但大于我们的一对8的概率约为20%，这同样会赢了我们，但是，如果我们继续大胆下注，“律师”或许就会退缩，选择弃牌。
此外，“律师”依靠公共牌凑成顺子或同花的概率为25%，也就是说，他现在的牌可能小于我们，但仍有机会翻身。最后一种可能性是，他的底牌可能小于我们的底牌，或许根本就是散牌，一直不弃牌只是想要唬住我们，这种情况也有25%的概率。
以上就是可能性最大的4种情况，你会发现“玩转”扑克牌并非易事。有些概率告诉我们应该继续大胆下注，有些概率则提醒我们还是谨慎为好，还有另外一些概率则暗示我们要作好弃牌的准备。
就在我们犹豫不决的时候，发牌人发出一张“救命”牌，这张牌能够让我们起死回生，那就是另外两张8中的8?，这样我们就有3张8了。而“律师”打败我们的唯一方法，就是他的底牌是一对9或一对K，这样就能凑成3张9或3张K，如果是这样，那说明他在玩牌时只是在假意示弱以蒙骗我们。（扑克玩家称此举为“故意示弱”，与虚张声势相对。）然而，我们不应该如此被动，在对他的底牌进行分析之后，我们认为自己获胜的概率应该能达到98%。于是，在这一轮我们押下的赌注较高：把100美元投进了赌金数为135美元的底池。
表10–2?前3张公共牌发出后，对手的底牌组合
底牌类型 底牌示例 跟注之前的先验概率 跟注之后的后验概率
3条 9? 9? 2% 2%
两对 K? 9? 2% 2%
K或更大的对子 K? J? 15% 28%
8到Q的对子 9? 8? 13% 20%
7或更小的对子 A? 3? 15% 20%
同花，没有对子 8? 6? 6% 12%
顺子（不同花） Q? T? 12% 12%
其他散牌 A? J? 35% 4%
“律师”又一次跟注。由于“律师”很有可能会将他较小的底牌和较小的扶持牌都弃掉，我们就能进一步缩小其底牌的范围。实际上，在1 326种底牌组合中，眼下最有可能出现的牌面组合已不超过75种。我们之前最担忧的是“律师”可能会有一对K，不过现在看来这个担忧是多余的。我们现在所担忧的是另一个花色为梅花的牌出现，因为这样仍然能帮他凑成一副同花牌。
不过，最后一张公共牌不过是一张毫无威胁的5?，并没能让“律师”凑成一副同花牌：
K? 9? 3? 8? 5?
我们将250美元的赌金投入赌金数为335美元的底池中，想着“律师”能够带着他的臭牌跟注。然而，“律师”突然精神起来，用极低的声音对发牌人说：“全进。”接着把他剩下的约1 200美元的筹码都推进了底池。
表10–3?第四张公共牌发出后，对手的底牌组合
底牌类型 底牌示例 跟注之前的先验概率 跟注之后的后验概率
3张K或9 9? 9? 2% 1%
3张3 3? 3? 1% 1%
两对 K? 9? 2% 2%
K或更大的对子 K? J? 28% 45%
3到Q的对子 9? 7? 40% 33%
同花，没有对子 A? 2? 12% 14%
顺子（不同花） J? T? 13% 3%
其他散牌 A? Q? 3% 1%
这到底是怎么回事？我们需要运用贝叶斯定理来考虑这个问题了。如果我们此前对“律师”手牌的预测失误了，那可就要与1 200美元失之交臂了。
我们看了看台面意识到，1 326种可能性中确有一副底牌似乎与“律师”现在的底牌一致，那就是7? 6?，这是一副同花连牌。所以我们猜想，“律师”在前3张公共牌发出之前，肯定已经有了这样一副底牌。当前3张公共牌发出时，这副底牌已经成了一副有4张梅花的同花牌，这样我们就无法打败他。发出第四张公共牌后，同花牌无法实现，他的牌反而更大了：我们得到的公共牌是8?，这使得我们拥有3张8，但也给了“律师”更好的机会，只要他有任何一张10或5，就可以凑成顺子。如果他的底牌确实是7? 6?，最后一张公共牌5?恰好使他凑成顺子，可以打败我们的3张8，这也解释了他为什么会大胆下注。
那么，我们是否应该弃牌呢？即使从未玩过扑克牌，面对这种情况也要少安毋躁，仔细考虑一下。
答案是，千万不要弃牌。实际上，对手下注越多你越应该感到高兴，因为底池里的赌金会越来越多。
贝叶斯定理为我们作了这个解答。“律师”决定“全进”的确是极其强劲的一招，这一招传达的信息比之前所有的跟进都多。但在“律师”全进之前，我们认为他的底牌中有7? 6?的概率非常低，可能只有1%，只是1 326种组合中的一种。除非我们非常确信“律师”的底牌中有7? 6?，否则弃牌就是大错特错。我们的底牌大于对方底牌的概率只要达到35%，这次跟注就准没错。
实际上，“律师”的底牌还存在另外一些可能，如一对3或一对5，如果是这类底牌仍会输给我们的一对8。“律师”的底牌也可能是K? 5?，这样他就会有一对K和一对5。有些玩家或许是一对A。根据“律师”对我们手中底牌的推测，他有可能推断出自己的底牌大于我们的底牌，这一局面即使没有好到足以让他全进，但他也许还是想从中大捞一笔。
除了顺子之外，还有其他的牌面组合可以打败我们。如果“律师”一路上只是故意示弱，他真正的底牌是一对9或一对K，那么现在他已经大获全胜了。这招与虚张声势的可能性差不多。如果“律师”错失了一副同花，那么他取胜的唯一办法仅剩下虚张声势。
阿瑟·柯南·道尔曾经说过：“除去不可能的，剩下的即使再不（大）可能，那也是真相。”这句话听上去很有道理，但问题是我们如何从“不大可能”中区别出“不可能”，区别过于仔细总会惹上麻烦。目前所有对手的底牌都是“不大可能”的，而“律师”的底牌很不常见。这是一些“不大可能”与“不可能”之间的较量，也是计算与假设之间的较量，是实际计算结果与“律师”的底牌是7? 6?这一假设之间的较量。如果用计算机计算所有的可能性，我们手持最大底牌的概率约为2/3
（表10–4）。
表10–4?第五张公共牌发出后，对手的底牌组合
底牌类型 底牌示例 跟注之前的先验概率 跟注之后的后验概率
顺子 7? 6? 1% 16%
3张K或9 9? 9? 2% 17%
3张5或3 5? 5? 2% 19%
两对 K? 5? 3% 20%
K或更大的对子 A? A? 44% 15%
8到Q的对子 8? 7? 35% 4%
无对（纯粹唬牌） 7? 2? 13% 9%
在真实游戏中，扑克牌玩家评估底牌概率的方法各不相同。技艺高超的玩家在不确定的情况下做出合理的概率判断的能力要超出其他99.9%的人。实际上，我还没有听说过有哪一款游戏或智力训练可以提高这种评估能力。然而，当我把这副底牌发布到专业扑克牌玩家共享的“二加二”在线论坛后，各种评价接连不断，有些人认为我们的手牌准是最大底牌，也有人认为我们被“律师”吃定了。我认为这两种评价都过于自信了。在对对手的底牌一无所知的情况下，我们不能贸然行动，但我们的预测错误普遍来自对确定性的错误认识，认为真实世界的确定性和我们想象的别无二致。在这种情况下，准确推断出对方的底牌就意味着弃牌，而全面评价各种可能性后——伴随着底池里的赌金不断增加——我们的结论是继续跟注。
如果这样一副底牌出现在ESPN播放的扑克牌锦标赛上，观众可以看到每位玩家的底牌，那么来自解说员的分析就是另一番模样了。如果观众知道对方的底牌是7? 6?的话，肯定会断言我方将弃牌。而如果我们选择弃牌后发现对方的底牌不过是3? 3?，那么他们肯定会表现出异常的惊讶，认为我们应该往底池中投下更多赌金。
在2009年的一场电视转播的扑克牌比赛中，比赛双方是两名世界级玩家，汤姆·德万和菲尔·艾维。比赛过程中，底池里的赌金最终超过了100万美元。艾维在第四张公共牌发出后，竟奇迹般地凑成一副5张牌的顺子，而不幸的是，同时也让德万凑成了一副7张牌的顺子，这是德万的牌大于艾维的唯一可能。一位解说员说道，“若有人要退出比赛，非菲尔·艾维莫属。”这句话暗指艾维选择弃牌才是明智之举。实际上，弃牌的做法是极其糟糕的。根据当时艾维对情况的了解以及双方各不相让的阵势，我们猜测他当时应该认识到自己手中的牌有90%的概率是最大的牌。此时，如果艾维还选择弃牌，那就是牌技过差了。
电视报道对扑克牌游戏来说确实是一个福祉，但也误导了许多临时玩家，使得他们把太多重点放在比赛的结果上，而忽略了做出正确决定的过程，并且他们还认为这就是正确的打牌方式。
德万对我说，“把对手的底牌缩小到一种可能性的情况并不常见，而电视节目却会让你相信你可以做到这一点。”
虚张声势，让对手猜不出你的底牌
德万有一个非常出名的网络昵称叫“durrrr”，之所以选了这样一个昵称，是因为他觉得这个昵称能使其他玩家输牌之后情绪失控。德万在17岁时就在网上的“全速扑克室”（全球性虚拟扑克室）投入了50美元的赌注，之后从波士顿大学辍学，成为一名全职扑克牌玩家，并在“在线扑克食物链”中一路升级为顶级掠食者。每个月他都有上百万美元进账，有时他也会输钱，但大多数时候都会赢。
2012年我与德万有过一次对话，当时人们普遍认为他是全世界最棒的无注限德州扑克玩家之一。人们都知晓德万勇于创新、进攻主动，最重要的是毫不畏惧。2009年，德万向全球扑克牌玩家发起挑战，进行一对一的比赛，除了他的好朋友菲尔·加尔福特之外，其他对手全都惨败。3位扑克牌高手相继与其鏖战，德万战胜了其中的两位。
虽然打牌时比较高调，但德万为人却十分低调，总体来看，德万思考扑克牌游戏和思考世界的方式是非常符合概率方法的。他之所以能赢得比赛，是因为他的对手总是过于自信。德万对我说：“生活中的大多数领域都需要用概率的方法思考问题，而不是简单的是或否。不论是分析建立税收联盟、购买食品，还是分析自己是否会被解雇，在很多领域中，人们其实都存在巨大的缺陷。”
德万总会设法搞乱比赛、迷惑对手，以利用这些人性的缺陷。如果说扑克牌比赛中最重要的技术是学会如何预测对手的底牌，那么第二重要的就是学会反预测。德万说：“一个人的牌技越高，我们就越不能确定他的底牌是什么，越不能确定他在做什么、他的手牌范围是什么。而且，他常常会利用你对他的判断做文章。”
虽然我永远不可能成为德万那样的玩家，但作为职业扑克牌手期间，我也在以自己的方式这样做。2000年年中，在一些不那么激烈的在线扑克牌游戏中，我打得保守且谨慎，虽然也能赢钱，但我很快发现，更为主动的方式才能赢更多的钱。于是，我就想找到对手预测我的底牌范围时可能出现的盲点。
比如，发出前3张公共牌时，如果你加注，那么你的对手自然会认为你的底牌非常大，其中可能有A、K或Q，当然，有时的确如此。但如果你的底牌同“律师”的一样，是7? 6?这样的小牌，同样可以加注。我的发现是，当A或K这样的大牌出现在台面上时，对手通常会相信我有可配套的牌，于是选择弃牌。而如果是一些小牌，我也总能凑成对子或其他好牌。有时，我甚至可以用这些公共牌凑成一副看似不大可能凑成的顺子，使对手变得情绪失控，开始像疯子一样乱玩。扑克牌有意思的地方在于，虽说原因各异，但牌技最佳的玩家和牌技最差的玩家玩牌时都可以随心所欲地出牌。于是，即使很有可能赢得对手的赌金，你仍然可以假装自己是个臭手，让对手放松警惕。
最终，有些对手识破了我主动出击的牌风，但也无妨，因为当我的底牌变得“可预测”时，如底牌为一对K，对手会更愿意跟注，这样我就能够赢更多的钱。
实际上，虚张声势和主动出击的玩法在扑克牌游戏中是很常见的，而且也是很有必要的，否则对手轻而易举就能识破你的底牌。从5年前开始，我不再定期玩扑克牌，此后扑克牌游戏中主动出击的牌风变得极为普遍，博弈论和计算机仿真程序都强烈地指出，这是最佳玩法。利用大量的可能性闪电攻击你的对手，是使他的概率计算变得复杂的最好办法。
有时，你可能会发现对手在某些状况下对概率的直观预估过于粗糙。当一个扑克牌玩家认为对手绝不会以某种方式——比如虚张声势的方式——出牌时，这时你便有机会混淆他对“不大可能”和“不可能”的认识，以达到利用他的盲点的目的。
德万说：“我知道我做过的许多事情并不是最佳选择，但长期来看，恰恰是这些事情为我赢得了大笔赌金。但直到最近几年，人们才终于开始意识到这一点，情况才有所改善。”
无注限德州扑克是德万最在行的游戏，也最适合采用这个游戏策略，因为牌手能够通过赌注的大小控制每个决定可能输掉的赌金。德万有些选择涉及的赌金不超过100美元，而有些则高达10 000美元、100 000美元，甚至更多。只要能在有百万美元赌金的底池中做出几个额外的正确决定，那么每次输掉的100美元就算累积起来也不算什么。
而我大多数时候玩的是有注限德州扑克，每轮的注额增量是固定的。（有注限德州扑克一直是扑克锦标赛以外最为流行的玩法；10年前，在美国玩无注限德州扑克的地区通常不过两三个。）有注限德州扑克的创新性少一些。在实践赶上理论之前，我利用主动出击的玩法还是辉煌过几年的。在2004~2005年这两年，我从扑克牌游戏上获得的收入达到了6位数，加上巅峰时期的收益，累计约为400 000美元。
学习曲线与二八原则亦适用于预测领域
我和德万的不同之处在于，无论赌金是多少，他几乎在任何时候都愿意与任何玩家打牌，而我仅与中上阶层的玩家打牌，而且为了赢钱，少不了陪一些水平较低的玩家打牌。幸运的是，扑克牌游戏兴起的头几年，水平较低的玩家比比皆是，我们称之为“菜鸟”。
