142＝196242＝576342＝1156442＝1936
152＝225252＝625352＝1225452＝2025
162＝256262＝676362＝1296462＝2116
172＝289272＝729372＝1369472＝2209
182＝324282＝784382＝1444482＝2304
192＝361292＝841392＝1521492＝2401
(1)在每一列中，通过把幂的底数和个位数是5的底数相
比较，来发现幂的规律
设a是1、2、3、4，则15+a与15-a都和5相差1、2、3、4.
∴(15+a)2-(15-a)2
＝225+30a+a2-(225-30a+a2)＝60a
由此可知，当底数与15相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差60、120、180、240。即162与142相差60，172与132相差120，182与122相差180，192与112相差240.
同样(25+a)2-(25-a)2＝100a，即262与242相差100，272与232相差200，282与222相差300，292与212相差400.也就是底数与25相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差100、200、300、400.
(35+a)2-35-a)2＝140a，即362与342相差140，372与332相差280，382与322相差420，392与312相差560.也就是底数与35相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差140、280、420、560.
由(15+a)2-(15-a)2＝60a
(25+a)2-(25-a)2＝100a
(35+a)2-(35-a)2＝140a
还可以发现
(45+a)2-(45-a)2＝180a
(55+a)2-(55-a)2＝220a
……
利用这个规律记忆二十几的平方，则非常方便。
(2)个位数相同的两位数的平方的关系
10m+a与10+a(m，a是1—9的自然数)是个位数相同的两个两位数，我们来研究它们的平方的关系：
∵(10m+a)2-(10+a)2
＝100m2+20ma+a2-100-20a-a2
＝100m2+20ma-100-20a
＝100(m2-1)+20a(m-1)
＝10(m-1)(10m+10+2a)
＝10(m-1)［(10m+a)+(10+a)］
∴(10m+a)2＝(10+a)2+10(m-1)［(10m+a)+(10+a)］。
可见，只要知道了十几的平方，就可以求与它的个位数相同的，任意一个两位数的平方。例如：
已知112＝121
则412＝121+10(4-1)［41+11］
＝121+30×52＝1681
已知142＝196
则342＝196+10(3-1)［34+14］
＝196+20×48＝1156
(3)相邻的两个自然数的平方的关系
设a，b是相邻的两个自然数，且b=a+1，则
b2=(a+1)2=a2+2a+1
=a2+a+(a+1)
=a2+(a+b)
如果已知a2，则b2=a2+(a+b)
如果已知b2，则a2=b2-(a-b)
例如：612=602+(60+61)=3600+121=3721
492=502-(49+50)=2500-99=2401
762=752+(75+76)=5625+151=5776
3.分式运算中通分的技巧
在做分式加减法运算时，离不开通分。如果在通分时，有些分子所乘因式较多，就会使运算变得较为复杂。怎样才能做到巧妙通分、简化运算呢？下面提供几种方法：
例1：化简11-a+11+a+21+a2+41+a4
分析：如果采用一次完成通分，则运算非常复杂.从分母的结构关系(1-a)(1+a)=1-a2，(1-a2)(1+a2)=1-a4，(1-a4)(1+a4)=1-a8可以发现，应采用逐次通分的方法简化运算。
解：原式＝1+a+1-a1-a2+21+a2+41+a4
＝21-a2+21+a2+41+a4
＝2(1+a2+1-a2)1-a4+41+a4
＝41-a4+41+a4
＝81-a8
例2：化简12x-4-12x-5-12x-7+12x-8
分析：由于分母都是x的一次二项式，而且一次项系数相同，常数项逐次相差1.因此在选择通分的方法时，还应考虑使分子尽量简单，所以可以采用分组通分的方法简化运算。
解：原式＝(12x-4-12x-5)-(12x-7-12x-8)
＝2x-5-2x+4(2x-4)(2x-5)-2x-8-2x+7(2x-7)(2x-8)
＝-1(2x-4)(2x-5)--1(2x-7)(2x-8)
＝(2x-4)(2x-5)-(2x-7)(2x-8)(2x-4)(2x-5)(2x-7)(2x-8)
＝12x-36(2x-4)(2x-5)(2x-7)(2x-8)
＝3x-9(x-2)(2x-5)(2x-7)(x-4)
4.根式的巧妙运算
古代战争中，为了避免伤亡，保存有生力量，指挥官在指挥攻城拔寨时，往往采用智取，而不用强攻。
在解答数学题时，也应像指挥攻城拔寨一样，只可智取不可强攻。如计算
23+45-27(3+5)(3+7)
时，如果“强攻”，采用把分母有理化的方法进行计算，则运算量浩大，运算过程繁杂，费时费力，实在是得不偿失。如果“智取”，则应胸怀韬略，仔细观察其特点，选择好突破口，集中兵力一举攻克。由于题中所含根式只有3、5、7三种，而分母是3+5与3+7的积的形式，所以可以利用这个特点，把分子化成3+5与3+7的和差形式，从而巧妙地化解了难点，计算过程如下：
23+45-27(3+5)(3+7)
＝43+45-23-27(3+5)(3+7)
＝4(3+5)-2(3+7)〖〗(3+5)(3+7)
＝43+7-23
+5
＝4(7-3)4-2(5
-3)2
＝7-3-5+3
＝7-5
请你按照上述方法，计算下列各式：
①6+43+32(6+3)(3+2)
(答案：6-2)
②1+23+53+3+5+15+3+5+277+35+35+37
(答案：1)
5.巧用倒数解题
有些分式型问题，直接求解非常困难，若将分式的分子、分母上下颠倒，往往能化繁为简，化难为易。
例1：如果x+1x＝3，那么x2x4+x2+1＝
解：∵x4+x2+1x2＝x2+1+1x2
＝(x+1x)2-1＝8
∴原式＝18
例2：化简6+23+32+36+43+32
解：∵6+43+326+23+32+3
＝(6+3)+3(3+2)(3+2)(3+6)
＝13+2+36+3
＝6-2，
∴原式＝16-2＝6+24
三、培养观察与想像能力的有效方法
数学概念的形成，命题的发现，解题方法的探求，都离不开观察与想像，可见，观察与想像与想像对数学学习很重要。
1.多观察、多画图、多想像
在数学学习过程中，主要是在几何学习中要加强空间想像能力的培养。培养空间想像能力可
图4-7
通过以下几方面来实现。
(1)多观察
观察几何图形有利于形成空间观念。
例：在下图中，数出三角形的个数。通过这种类型的训练，可以促进空间想像力的发展。
观察能力不强的同学，审题时看不清题意，解题找不到突破口，学习概念时不能掌握实质，因而影响学习成绩的提高。可见，观察对数学学习是十分重要的。
例如，解方程｜x+1｜+x-2＝2，此题按常规解法来解，方程十分冗长，若注意观察题目结构，可知x-20即x2于是｜x+1｜3，这样左边≥3>2，故原方程无解，我们直接通过观察便可得到解题的结果。
(2)多画图
通过画图实践，能够对空间图形间的关系、线线关系、线面关系、面面关系有一个感性认识。画图往往是根据文字表述来画，这个过程实际上是再造想像过程。比如，画出沿三角形一条中线把由该中线所分得的三角形的两部分所在的平面画成互相垂直的空间图形。学生就要在头脑中再造想像这一空间图形的映象，并且能通过平面上的图形表示出来。
(3)多想像
多想像不仅要通过具体图形来想像，而且要通过文字表述来想像。这种想像是再现图形表象的过程，是对表象的再加工过程，是培养空间想像能力的很好途径。
上述的几方面体现了学生培养空间想像力过程中的认知活动。一方面，通过观察图形、模型，形成表象，它是学习者对形体认知的内化过程；另一方面，通过画图，是学习者表象的外化过程。多想像，实际上是对表象的加工过程。这一系列过程都是为再造想像积蓄条件，为培养数学空间想像力进行着必要的训练。
2.提高研究图形能力
学习几何虽然要接受大量的定义、公理、定理和论证方法，但这些内容都是从图形中抽象出来的。图形是对客观事物的抽象表现，心理学家把它称为视觉的符号，它是一种抽象而又直观、严谨而又简单的语言。因此，要学好几何，必须在研究图形上下功夫。
(1)画图
研究图形，首先须过好画图这一关。每接触到新图形，都要把它画准确，并在画图时进行几何术语的训练。学会看图说话，读句画图，进行文字、图形、符号的互相表达练习，直到准确熟练为止。
①画平面几何图形时，应注意以下四点：a.按已知条件画图，不能随意添减条件。b.不用特殊图形代替一般图形。c.线条粗细合理、整洁。图画得精确，会给证明带来启示；反之，有可能把思路引错。d.画图时用直尺和圆规，这要形成习惯。在没有过硬基本功时，不要徒手画图。
②画立体几何图形时，我们的想像不能局限于平面。有的同学总是停留在平面内考虑问题，建立不起空间观念，这种障碍应当排除。应突破平面，在空间联想。通常要求把握好以下三点：a.观察模型，建立联想；b.掌握定律，多思勤画；c.画好基本图形，打好功底。常见的基本图形有：空间四边形、异面直线、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、多面体、旋转体等。
(2)观察想像
学几何的真功夫就在观察与想像中。同学们接触图形，要善于观察、想像，有了这个能力，解题、论证能力也就水到渠成了。
①观察基本图形。复杂图形是由基本图形组合而成的，掌握了基本图形的特征和性质，无论它们在哪里出现，都能一看就认识，并知道它在题目中所起的作用。
②分解复杂图形。对基本图形观察得敏锐准确，就可以把复杂的图形分解看待，视为简单独立存在的一个个图形，或进一步分解成点、线段、角等元素。这是揭示题目逻辑关系的好办法，为推理论证提供了线索。
③观察图形间的联系。图形间往往是有联系的，要善于观测由图形演变所带来的条件和结论的变化，从变中看到不变，从不变中看到变化，以训练自己的空间想像和逻辑思维能力。
(3)恰当地处理图形
对几何图形研究的能力，更表现为根据解题需要恰当地处理图形。中学阶段对图形的处理是指添加适当的辅助线。添一条或两条辅助线，可使图形中分散的元素联系起来，为论证提供了必要的条件。
引辅线都从哪些方面考虑呢？这是同学们常感到困难的事情。
①引用常见的辅助线。教材中出现的辅助线，为解决同类问题提供了基本思考方法，它们具有普遍应用性和规律性。同学们要使自己具备独立引出辅助线的能力，首先要在教材中出现的辅助线上下功夫，弄清它们的处理方法，你就能获得解决类似问题的能力。
②抓住特征引辅助线。在有的图形引用常见的辅助线解决不了问题的时候，就应通过观察抓住图形的特征引用辅助线。常遇到的特征关系及解决方法有如下几种：a.定中点法。“给中点、证线段，常常要引平行线”，这是一条宝贵经验。b.对称法：图形的对称性在解题中作用很大，因此要找出图形的对称轴，发挥它的作用。
③重视典型的辅助线。有的题目确实使同学们百思不解。教师帮助做出后，同学们感到简直是太精巧了，这样引出的辅助线对我们分析问题、解决问题的能力大有提高。数学中引辅助线不仅仅是为了解几个题目，而是从事想像与再造的高级心智活动。它对开发学生智力，培养同学们创造性思维能力，有着不可估量的作用。
四、发散思维与分析综合的解题思路
发散思维在数学中的应用便是一题多解、即通过对命题的分析—综合—再分析—再综合，探求思路，寻找答案。
1.培养发散性思维在数学学习中的重要性
发散思维，是创造性思维的特点之一，它能够使人们沿着各种不同的方向去思考，其结果不是惟一的，而是多种多样的，具有新颖性、多端性、伸缩怀和精细性。数学中的一题多解，外语中的一句多译，都属思维发散性的范畴。学习中如果注意使自己的思维发散，就会思路灵活、开阔，而不致囿于一孔之见。
我们曾以“砖头有何用途”为题测验过一些同学的思维发散性，下面选两种答案供大家评议。
其一：砖头可以用来盖房子、铺路、建花墙、盖猪舍、砌鸡窝、修煤池、盖车棚、立煤炉。
其二：砖头可做建材，可用做武器、尺子、染料、教具、火炉、重物、雕刻原料、气功打击物、吸水物、装饰品、彩笔、垫托物。作为教具，在数学方面可计算三个面积、一个体积；在物理学习方面可算出密度、比热容和三个面的压强；在美术学习方面可利用它讲光线、透视学；在化学教学中可讲烧砖过程中的化学反应；在语文教学中可讲砖头那种甘当基石、无私奉献的“个性”；在政治经济学中可利用它讲国际贸易中低、高档商品之间的关系。
从以上两种差异颇大的答案中不难发现，后者具有较好的发散性。它能冲破“建材”的框框，想到许许多多方面。而在一个方面，又能进一步发散，能精细地逐一列举用途，充分体现了思维的新颖性、伸缩性、多端性和精细性。
我们不妨本着使思维尽量发散的精神，看看下面一道普通数学题会有多少种解法。
例：一台拖拉机2小时耕地25亩，这样计算的话，耕125亩地要几小时？
解法①：算术法
①每小时耕地：125÷(25÷2)
②耕每亩地需多少小时：2÷25×125
③求125亩是25亩的几倍时列式为：125÷25×2
④先求25亩是125亩的几分之几时列式为：2÷(25÷125)
⑤先求每小时耕地多少亩，再求每小时耕地的亩数是125的几分之几，可列式为：1÷(25÷2÷125)
解法②：列方程式
设耕125亩地需要x小时，则
①每小时耕地亩数相等，可列式：25÷2＝125÷x
②根据每耕1亩地所需时间相等，可列式：x÷125＝2÷25
③因每小时耕地亩数相等，所以耕地亩数的倍数与耕地时间的倍数相等，可列式：125÷25＝x÷2
④因为每小时耕地亩数相等，所以耕地亩数的份数与耕地时间的份数相等，可列式：2÷x＝25÷125
⑤根据耕地125亩所需时间除以耕每亩地所需时间等于要耕地125亩所需时间，可列式：x÷(2÷25)＝125
⑥根据耕地125亩所需时间除以125亩是25亩的几倍数，应该等于2小时，可列式：x÷(125÷25)＝2
⑦根据每小时耕地完成的份数应该等于每小时耕地的亩数与125亩的份数相等，可列式：1÷x＝25÷2÷125
⑧根据每小时耕地的亩数是125亩的几分之几与耕125亩地所需时间的积应等于单位“1”，可列式：(25÷2÷125)×x＝1
大量研究证明，一个人的创造能力如何，与发散性思维品质有着十分密切的关系，因此每个中学生都应大力发展思维发散的能力。但是，由于传统教育的影响，我们的教学往往更多的是注意培养学生的“聚合思维”——即培养同学们通过逻辑思维找出惟一正确答案的能力。我们出的问答题、选择题、填空题，许多考题都注重培养聚合思维，这是传统教育不足的一个方面。作为有志于创造的中学生，在发展聚合思维的同时，更应当主动地培养发散思维，两种思维菜同发展，才有利于创造思维的升华。只要有了这种意识，在学习和生活中培养发散性思维的机会是很多的。
