直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国 伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正 确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上 计算了1200个小时，终于证明了四色问题。
地图着色问题
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正式提出地图着色问题的时间是1852年。当时伦敦大学的一名学生法朗西斯向他 的老师、著名的数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题。莫根无法解答，求 助于其他的数学家，也没能解决。于是，这个问题一直传了下来。
55.两位数加减法的心得
两位数和两位数相加，如果不进位，心算是容易的。记住要从高位算起。例如 32+46,应当先算3+4=7,把结果”七十……“报出来，然后算出2+6=8,接着报出”八“ .要是先算个位2+6=8,象笔算那样做法，你就要在脑子里记住这个8,同时又去算 3+4=7,增加了大脑的记忆负担。
如果进位，仍应当从高位算起。但要用”先加后减“的方法来代替进位手续。例 如：37+48,在脑子里可以把它转换为37+50-2.便可以应声说出85.又加65+77,可想成 65+80-3,先报出”一百四十…“,再算出5-3=2,接着报出”…二“.
两位数减去两位数或一位数，如果个位够减，心算不难。方法仍然是从高位到低 位，边算边报结果。如需要借位，就用先减后加的办法。如52-29,可想成52- 30+1,34-7,可想成34-10+3,这就避免了进位的周折。
多位数的加减法，只要你能记得住题目中的数字，就能用类似的方法心算。窍门 有两个：
（1）从高位到低位，边算边报出结果。计算时注意会不会有进位与借位，如有 进位与借位，可以预先进上或借走。
（2）两数相加大于9时，可用一个数减另一数的”补数“.两数相减不够减时， 可用被减数加上减数的”补数“.所谓补数，就是能和该数凑成10的数。如：2的补数 是8,6的补数是4.
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例：要算3574+4681,先算3+4=7,照顾到后面5+6要进位，就预先进一位，报出结 果的首位”八千…“,接着5+6,可按5-4得出1,因为6的补数是4.照顾到后面7+8要进位 ,报出结果”…二百…“.然后把7+8按7-2算，报结果”…五十…“,最后个位4+1=5 就不成问题了。报结果时声音略拖长一点，显得迅速准确而且从容不迫。
减法类似：要算6347-3582,照顾到百位不够减，从6-3=3预借1,报出”二千…“. 下面的3-5按3+5算出8,照顾到后面不够减，报出”…七百…“,然后4-8按4+2=6,连7 -2=5一同报出”…六十五“.
用笔算的方法由低位开始算，在整个过程中要记住全部已得到的结果，当然不利 于心算。
56.两位数乘法的速算
计算63×67,掌握了窍门的人能立即写出答案4221,这里”21“是两个个位数3与7 之积，而42是6×（6+1），这个”6“是这两个数的公共的十位数字。类似地， 84×82=7208,这里72=8×（8+1），而8=2×4.道理很简单：当b+c=10时，有：
（10a+b）（10a+c）=100a（a+1）+bc=100a2+10a（b+c）+bc
类似地，当b+c=10时：
（10a+a）（10b+c）=100a（b+1）+ac
（10b+a）（10c+a）=100（bc+a）+a2
于是，可以迅速算出：
66×73=100×6×（7+1）+6×3=4818
36×76=100×（3×7+6）+6×6=2736
如果b+c比10略大或略小，可在上述计算的基础上略加调整，所用的公式是：
（10a+b）（10a+c）=100a（a+1）+bc+10（b+c-10）a
（10a+a）（10b+c）=100a（b+1）+ac+10（b+c-10）a
（10b+a）（10c+a）=100（bc+a）+a2+10（b+c-10）a
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分别各举一例：
67×64=100×6×（6+1）+7×4+（7+4-10）×6×10=4228+60=4288
66×74=100×6×（7+1）+6×4+（7+4-10）×6×10=4824+60=4884
76×46=100×（4×7+6）+6×6+（7+4-10）×6×10=3436+60=3496
如果b+c=5而a为偶数，也可以用类似方法速算。如：
83×82=100×8×8+406=6446
这里406的来历是（8÷2）×100+2×3=6806.你能弄清其中的原因吗？试试用速 算法计算88×32,还有38×28:
88×32=100×3×8+2×8+400=2816
38×28=100×3×2+8×8+400=1064
57.接近10、100、1000的乘法速算
有窍门的人计算998×997,不假思索地写出答案995006.是怎么算的呢？--先看出 998与1000的差是2,从997-2=995,便得到前三位，再用2与997与1000的差的数3相乘， 便得到后三位006.
这类速算窍门，来自等式：
（10m+a）（10m+b）=10m（10m+a+b）+ab
这里a、b可正可负，也可以一正一负。注意到等式右端括号里的10m+a本是原来 的被乘数。只要把这个被乘数加上b,便得到积的前m（或m+1）位，a乘b前面补0,得到 积的后m位。例：
16×13=10×（16+3）+3×6=208
96×93=100×（96-7）+4×7=8928
98×104=100×（98+4）-2×4=10192
113×104=100×（113+4）+13×4=11752
1098×1096=1000×（1098+96）+98×96=1194+100×（98-4）+2×4=1203408
994×1012=1000×（1012-6）+（-6）×12=1006000-72=1005928
58.除法的速算
四则运算中除法最麻烦。除法的速算也不容易。但也并非不能速算。
常用的方法之一是化除为乘。例如：
332÷25=332÷1004=3.32×4=13.28
58÷5=58÷102=5.8×2=11.6
另一种方法是尽可能把除数分解成一位的因数，例如：
3456÷24=（3456÷3）÷8=1152÷8=144
294÷28=（294÷7）÷4=42÷4=10.5
还有一种除法速算方法，通常不受人注意。介绍于下。这个方法用于除数比100 、1000、100000略小的情形。
例如，5403897÷997,速算的基本原理在于把997大致当成1000.在5403897里，一 眼可以看出有5403个1000,也就是至少，有5403个997,因而5403是商的主要部分！考 虑到1000=997+3,可见5403897中去掉5403个997之后，余下的数是 5403×3+897=16209+897.下一步再问：在16209+897里有多少个997?再把997粗看成 1000,又找出16个997,余下的是16×3+209+897=1154,1154里有1个997,余下157.
59.两位数平方的速算
个位数是5的两位数的平方，有极简单的速算方法：把它的10位数加1与10位数相 乘，后面写上25就行了。照这个办法，652的计算方法是（6+1）×6得42,后面添上 25,即652=4225.又如，252=625,这个”6“是（2+1）×2得来的。
个位数小于5的两位数的平方也可以速算。其方法是：把这个两位数和它的个位 数相加，再与它的十位数相乘，所得的积后面添上0,加上个位数的平方即可。例如： 432=（43+3）×40+9=1840+9=1849,242=（24+4）×20+16=560+16=576
个位数大于5的两位数的平方速算方法是：把这个两位数减去它的个位数的补数 ,乘上它的十位数与1之和，补0,加上个位数的补数的平方，例如：372=（37-3）× （3+1）×10+9=34×40+9=1369,982=（98-2）×（9+1）×10+4=9604.
这些速算方法的道理何在呢？请看下列三个恒等式，它们顺次分别说明了三种方 法：
（1）（10a+5）2=100a2+100a+25=100a（a+1）+25
（2）（10a+b）2=100a2+20ab+b2=10a（10a+2b）+b2
（3）（10a-b）2=100a2-20ab+b2=10a（10a-2b）+b2考考你
1.在243个零件中要找出1个废品，至少称几次？
2.怎样化循环小数为分数？
3.从1加到几再返回加到1的数怎样速算？
4.贾宪三角形是怎样排列出来的？
5.你知道爱因斯坦是怎样记的吗？
6.你知道李白的壶中原有多少酒吗？
大诗人李白酷爱喝酒。一次，李白带着酒壶外出，遇见一个酒店，就把壶中的酒 增加了一倍。接着李白见到了一片花丛，便饮酒作诗，喝下一斗酒。这种遇店酒加一 倍，见花饮酒一斗的情况反复了三次之后，李白喝光了壶中的酒。你知道李白壶中原 有多少酒吗？
7.请你算一下岳家军有多少人？
岳飞是宋朝的兵马大帅，他一向注重军事操练，培养出一支精锐的”岳家军“. 一次，岳家军全体出来接受检阅，组成了62个方阵，每个方阵的大小都一样，很是威 风。岳飞见了很高兴，脱下帅袍，加入将士们的行列。战旗一挥，阵势改变，包括岳 飞在内的全部人马重新排成了一个新的大方阵。
请你计算一下，岳家军共有多少人？
8.诸葛亮秘诀何在？
传说三国时代诸葛亮因见张飞生性粗暴，遇事不爱动脑筋，放心不下，特意设计 了一种棋让张飞来下，并通过下棋告诉他只有慎重思考才能百战百胜的道理。
这种棋的棋盘上是个五角星，在这五个角和五个交叉点上有10个摆棋子的位置。 他要张飞口里念着”一二三“,手指沿着棋盘的任何一条直线数3点，然后在第3点上 摆1个棋子，数的时候第1点和第3点必须是空位子，也不许拐弯；直到10个位置上摆 上了9个棋子，只剩一个空位子时，就算胜利结束。
张飞一看玩法这么简单，心中十分不耐烦，抓过棋子就下。他”一二三、一二三 !“地连数带下，哪知一连下了三天三夜都没有摆成。最后还是诸葛亮把秘诀告诉他 以后才摆成了。
请大家也摆摆看，诸葛亮的秘诀在哪里？
9.国王是如何择臣的？
从前，有一个国王，要选择一个聪明的大臣到外国去当大使。他就出了下面这一 个问题：
有一个三位数，它的十位数上的数是百位上的数的3倍，个位上的数是百位上的 数的2倍。这个数可能是多少？
10.你能帮武松数数念珠吗
武松，是家喻户晓的一位英雄人物。武松打虎的故事，更是妇孺皆知。这里讲的 是武松颈上的念珠的故事。
武松在景阳冈打死老虎后，经过一系列波折，最后也上了梁山。他的好朋友菜园 子张青，送他一串念珠。这串念珠共100多颗。武松拿在手中，3颗一数，正好数尽； 每5颗一数，最后余3;每7颗一数，最后也是余3.武松虽然力大伏虎，却始终数不清这 串念珠共有多少颗。你能帮他数清吗？
一天，爱因斯坦遇到一个女朋友，这个女朋友要求他有空时打电话给她。
”请你把电话号码记住。你知道，这个号码很长，不好记。“这个女朋友说。
”好，我听着。“
”24361“,爱因斯坦不解地说：”这有什么难记的呀！你说完我就记住了，这是 两打与19的平方！“
你能说出爱因斯坦是怎样记的吗？
参考答案：
1.把243个零件，先分成3堆，各堆81个，取其中的2堆称1次，就可以确定废品在 哪一堆里。再把这一堆，等分成3堆，每堆27个取其中的2堆再称1次。这样下去总共 只要称5次，就可以在243个零件中找出废品来了。
2.要把循环小数化为分数，只要把一个循环带当作分子，把99…9当作分母就行 了，9的个数应等于分子的因素，这条规则也可以用公式来表示：0,a1a2……ana1a2 ……ana1a2an……=a1a2……an99……9（共n个9）。
3.老老实实地加是可以得到正确结果的，但这不是速算。速算，就该掌握凡是从 1到某一个数（即n）再反过来加到1,结果都是到头那个数（n）的平方，如：从1加到 100再回头加到1是多少？解答是1002=10000.
4.把贾宪三角形仔细看看，就会清楚它的排列方法，它每下一行的数比上一行多 1个，两边都是1,中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，如：第五行 的4就是第四行的3与1之和，6就是3与3之和，等等。
5.爱因斯坦所说的两打即（2×12），而361则正好是19×19.
6.原有酒78斗。
7.全部岳家军（包括岳飞在内），有3969人。
设原先62个小方阵每边的人数为y,最后岳飞加入后排成的大方阵每边人数为X,则 :
62y2+1=x262y2=（x-1）（x+1）
这个不定方程的最小解为：x=63y=8.显然不符题意的下一个解为x=7937y=1008, 则x2=79372≈80002≈64000000,岳家军不会有这么多人。故x=63,y=8符合题意。
8.1024一半一半地取，取到第10次时，就是”1“.根据这个道理，连续提10个问 题，就能找到所需要的数。
9.有三种可能：132、264、396
10.设念珠数为m;x、y、z为m被3、5、7除得的整数商，则可列出以下方程式： 3x=5y+3=7z+3=m.
从上式可得x=5y3+1
z=57y
从式中可定出y=21.
故念珠数为：m=5×21+3=108（颗）。
