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第2章 飞渡数学王国(2)

相等的任意四边形材料也能铺地板。

因为四边形内角之和是360°,只要使四块材料的公共顶点上的四个角之和等于 360°,就能填满整个平面,而毫无隙缝,用这些材料可铺成极长的带形。同时,凡 是有着同样大小、同样形状的任意四边形木块,都可用来拼地板。

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三角形的稳定性

因为三角形有一种特殊的性质:只要三边的长度确定了,三角形的形状、大小也 就不能再改变,这种性质,我们叫做三角形的稳定性。因此,在日常生活中,我们常 常利用三角形的结构稳定性,进行建筑施工和家具修理等。

13.大笔一挥妙处横生

圆圆的月亮,圆圆的皮球,圆圆的闹钟,圆圆的苹果、桔子与石榴……圆满、团 圆、圆梦……多美啊,圆可一笔画,你想知道吗?

就是由某些点和线段所组成的各种图形,问这些图形能不能不重复地一笔画成。 凡是能够一笔画成的图形,只有两种情况:(1)图形中所有的点都是偶点,就可从 图形的任意一点出发,不重复地把图形一笔画出,而且最后仍回到出发点。(2)图 形中只有两个奇点,这时,可从其中一个奇点出发,把图形不重复地一笔画出,最后 回到另一个奇点。

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圆的妙用:

为什么车轮做成圆的是很有道理的。因为车轮做成圆形,车轴安在圆心上,那么 ,车轴到车轮上任何一点的距离即半径均相等。当车轮在地面滚动的时候,车轴离开 地面的距离,就总是等于车轮半径那么长。因此,车厢里面的人都将平稳地被车子拉 着走。另外,车轮是圆的,则其滚动摩擦阻力比滑动摩擦阻力小。

14.宰相开口,国王束手无策

把棋盘格里以依次多一倍的数量放满麦子,看似一件简单的事,宰相的这一要求 却难坏了国王。这是怎么回事?

在印度有一个古老的传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--本国宰相,宰相 就对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,第2格里给2 粒,第3格给4粒,以后每小格赏比前一格多一倍,64格放满了,也就是我要求的奖赏 了。”国王觉得很简单,就命令给他这些麦粒,可结果发现,就是把全部印度甚至全 世界的麦粒拿来,也供应不了宰相的要求,因为宰相要求的麦粒数达:20+21+22+23+ ……+263=264-1=18446744073709551615(粒)。

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什么叫做“韩信点兵”?

韩信点兵是指:凡是用3个一数剩下的余数,将它用70去乘,5个一数剩下的余数 ,将它用21去乘,7个一数剩下的余数,将它用15去乘,将这些数加起来,若超过 105,就减掉105,如果剩下来的数目还是比105大,就再减去105,直到得数比105小为止 .这样,所得的数就是原来的数了。

15.“数”被打碎了

花瓶破碎了是一种遗憾,然而数字破碎了真是件好事,小朋友,你想知道数是怎 么被打碎的吗?

在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人 叫做是“破碎数”.

在数的历史上,分数几乎与自然数同样古老,在各个民族最古老的文献里,都能 找到有关数的记载,然而,分数在数学中传播并获得自己的地位,却用了几千年的时 间。

在欧洲,这些“破碎数”曾经令人谈虎色变,视为畏途。7世纪时,有个数学家 算出了一道8个分数相加的习题,竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一 段时间里,欧洲数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为 许多学生遇到分数后,就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。直到17世纪,欧洲的 许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在,德国人形容某个人陷 入困境时,还常常引用一句古老的谚语,说他“掉进分数里去了”.

在西方,分数理论的发展出奇地缓慢,直到16世纪,西方的数学家们才对分数有 了比较系统的认识。甚至到了17世纪数学家科克在计算35+78+910+1220时,还用分母 的乘积8000作为公分母!

而这些知识,我国数学家在2000多年前就都已知道了。

我国现在尚能见到最早的一部数学著作,刻在汉朝初期的一批竹简上,名字叫《 算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的,在这本书里,已经对分数运算作了 深入的研究。

公元263年,我国数学家刘徽注释《九章算术》时,又补充了一条法则:分数除 法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。而欧洲直到1489年,才由维特曼提出 相似的法则,已比刘徽晚了1200多年!

小朋友们,你以前知道花瓶会破碎,现在又知道数也会破碎,好玩吧。

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你知道“+、-、×、÷、=”这些符号是谁发明的吗?

中世纪后期,一些欧洲商人常在装货的箱子上画一个“+”字表示重量略微超过 一些,画一个“-”字表示重量略有不足。公元1489年,德国人威德曼在它的著作中 才正式用这两个符号表示加减运算。“×”是英国人威廉·奥特来德于1631年首先用 在他的著作上表示乘法,后人就把它沿用至今。至于“÷”的使用,可以追溯到1630 年一位英国人约翰比尔的著作,“=”是雷科德发明的。

16.符号二姐妹

数字、符号、运算无处不在妙趣横生,你知道数量符号指哪些符号?运算符号又 指哪些符号吗?

数量符号是表示数量的符号。如:自然数1,2,3;分数2/5,1/6;分数1.411,π等等 .

在数量符号中,数字是最简单、又是最常用的符号。在世界各地,人们创造了各 种不同的数字。现在,世界各地都使用阿拉伯数字。

罗马数字仍能在一些钟表的表面或书上见到。除了阿拉伯数字,中国数字可称为 世界上最优秀的数字。

罗马数字

ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩXXXXXXLLLXLXX

中国数字

一二三四五六七八九十二十

三十四十五十六十七十

罗马数字

LXXXXCCM

中国数字八十九十百千

运算符号主要有加减乘除(+、-、×、÷),根号(),比(∶)等。

加法符号,开始使用的是英文plus(加)的字头P.在德国,使用了相当于“and ”(和)的词“et”.后来,为了加快速度,把“et”连着写,于是慢慢地变成了“+ ”.而减法符号,也是为了便于速写,从英文minus(减少)的字头m,逐渐变成了“- ”.

乘法符号“×”是从加法符号“+”变化而来的。因为乘法运算是一种特殊的加 法运算,它是由几个相同数的连加运算发展而成,所以,将加法符号“+”稍作变动 ,就变成了乘号“×”.

除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的。除的本意是分,符号“÷”的中间 的横线把上、下两部分分开,形象地表示了“分”的含义。但在德国,莱布尼兹是使 用“∶”号代表除号,因为比的含义和除的含义是一致的,所以,人们常用“∶”号 表示比。

关系符号是数学上用来比较大小或表示位置关系的符号,主要有等于“=”大于 “>”、小于“<”、不等于“≠”,平行于“∥”,垂直于“⊥”等符号。

此外,在数学符号中还有结合符号,如括号“()”、“[]”等,以及性质符号 和省略符号等。

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一生能数多少数字

如果一个人每分钟能数100个数,每天数8小时,每周数5天,那么一个月大约能 数到100万。大概80年多一点的时间能够数到10亿。

17.窈窕淑女君子求

在自然界和生活中,可以发现一些对称的图形与形形色色的曲线,它们都很美, 你能找出来吗?

对称的图形:

对自然界和生活中,我们可以看到许多对称的图形,如飞机、蝴蝶、花朵、电扇 、树叶等。这些物体的功能、属性完全不同,但它们的形状却有一个共同的特性--对 称。

如果有一条直线可以把飞机、蝴蝶、花朵等从正中央分割,使线两边的图形可以 对折重叠,那么,这条线就叫对称轴,具有这种性质的图形叫轴对称图形。

有些图形不是轴对称图形,无法找到对称轴,例如电扇的风叶。但是,如果我们 把风叶在平面上绕着中心点旋转180°后,会发现两片风叶的图形完全重合。这种图 形称为中心对称图形,这个中心点称为对称中心。

各种对称的图形

形形色色的曲线:

在我们的日常生活中,有许多物品的外形是圆的,如车轮、茶杯、闹钟、水管等 .圆是圆心到圆周上任意一点的距离都相等的曲线。除了圆形之外,我们还可以找到 其它各式各样的曲线。

将圆锥体切开,在其切口处会产生抛物线、椭圆及双曲线等图形。这些曲线统称 为圆锥曲线。

天线的横切面呈抛物线状,能够把人造卫星传送来的平行电波,集中到一个地方 .这些平行电波的集中点,叫抛物线的焦点。

相反地,由焦点向天线传送的电波,经过天线的反射之后,也成为平行电波,传 送到远处。

抛物线

椭圆

倾斜相切时

双曲线

垂直相切时

太阳的九大行星是以椭圆曲线的方式,围绕着太阳运转。

太阳

行星的轨道

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美妙的对称

在自然界中,我们可以看到许多事物都是对称的,像建筑物、艺术作品以及我们 的人体。对称不仅给人以视觉上的美感,而且还包含着科学道理。如飞机的对称使飞 机能在空中保持平衡,我们人体的对称,则是生理上的需要。

18.科学家年龄几何?

一位科学家在几年前逝世,逝世时的年龄是他出生年数的129.如果这位科学家在 1955年主持过一次学术讨论会,求他当时的年龄。你会推算科学家的年龄吗?

分析:要想求出这位科学家在1955年时的年龄,首先必须知道他在哪一年出生。 而这个出生年数应满足条件:是29的倍数;小于1955.把小于1955的29的倍数罗列出 来:

1943,1914,1885,1856……

在这些数中,哪一个是这位科学家的出生年数呢?如果是1885年,那么科学家在 1955年的年龄就是:1955-1885=70,但他逝世时的年龄却是1885÷29=65,这显然是个 矛盾。即科学家不能在1885年出生;同样的方法可以说明在比1885年更早的年数里出 生也不行。现在,还剩下1943和1914两个数。如果在1943年出生,不难知道学者在 1955年的年龄为12岁,这是不符合事实的,因为科学家不可能在12岁主持学术讨论会 ,把所有不可能的情况都排除,就可以知道出生年数为1914年,1955年时他的年龄为 41岁。解决这个问题的基本思路就是“筛”法,其中也运用了归谬法的思路。

19.眉头一皱罪犯难逃

有一天,某市一家珠宝店发生了一起盗窃案,被盗走了价值10万元的珠宝。经过 两个月的侦破,查明作案的人肯定是A、B、C、D中的一个。

谁是罪犯呢?

于是将这四人当作重大嫌疑犯拘捕起来进行审讯,审讯中,这四人有这样的口供 :

A:珠宝被盗那天,我在别的城市,所以我是不可能作案的;

B:D是罪犯;

C:B是盗窃犯,三天前我看见他在黑市上卖珠宝;

D:B同我有仇,有意诬陷我。

因为口供不一致,无法判断谁是罪犯。

经过进一步调查知道:这四人中只有一个说的是真话。同学们,你知道罪犯是谁 吗?

分析:首先要找到问题的突破口。四个人中只有一人说的是真话,这是关键,要 找到谁说的是真话,谁说的是假话。现将这四个人的关键语简括一下就是:

A:我不是罪犯;

B:D是罪犯;

C:B是罪犯;

D:我不是罪犯。

同学们首先可以发现,在这四个人的口供中,B、D两人说的话是对立的。他们俩 讲的话不能都是真话,也不能都是假话,必有一个是正确的。确定了这点,再从已知 条件可以判断A、C说的都是假话。这样A说我不是罪犯,A就是罪犯。

20.无限风光在险峰

陈景润是我国伟大的数学家,他是我国第一个摘取数学皇冠明珠的人,你想知道 是怎么回事吗?

1742年,德国人哥德巴赫写信给大数学家欧拉,提出了两个猜想:(1)任何一 个大于2的偶数都是2个素数之和,1表示为“1+1”;(2)任何大于5的奇数都是3个素 数之和。在数论研究中,数学家们往往根据一些感性认识,小心的提出猜想,然后再 通过严格的数学推导来论证它,证明的猜想就变成了定理。

陈景润于1966年证明了(1+2),取得了迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想(1) 这个难题的最好成绩。他证明了:任何1个充分大的偶数,都可以表示成二个数之和 ,其中1个是素数,另1个或者是素数,或者是2个素数的乘积。世界上称这个定理为 “陈氏定理”.

21.两个指头与十个指头计数

一般情况用十进位制计数,而计算机里要用二进位制?十进位制与二进位制的整 数是怎样换算的?

因为电子计算机只有两种情况:一种是“通电”一种是“断电”,所以只能用二 进位制。用了二进位制,电子计算机才能够根据通电、断电两种不同情况,进行自动 的计算。

它们如何换算呢?

将一个十进位制的整数,转换成二进位制时,只要不断地“用2来除”,每一次所 得的余数(必为0或1)依次排列起来,就是自低位到高位的二进位制的整数。当然, 利用2n及其十进位制数的对照,也可以转换,而二进位制换成十进位制的整数只需用 十进位制换成二进位制整数的逆运算就可得到。

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电子计算机是怎样进行运算的?

第一步是编制计算程序,即将要计算的式子化成依次计算的指令,第二步是穿孔 ,第三步是具体运算。计算员通过“计算控制台”告诉控制器,将纸带上所记载的信 号依次分别送入存贮器1-10号,101-105号。启动后,控制器命令“输入设备”开动 ,控制器得到存数,输入完毕两个信号,就正式照程序表的第一条指令进行运算,然 后,2,3,……一直到9.第九条指令是命令印刷机开动印出,第十条指令是“停机”.

22.神机妙算方称才子

计算奇趣多多,根据历法原理,按照下面公式,就可算出某月某日是星期几。你 想知道吗?

根据历法原理,按照下面的公式计算,就可以知道某年某月某日是星期几了。这 个公式是:S=x-1+[x-14]-[x-1100]+[x-1400]+C

这里X是公元的年数,C是从这一年的元旦算到这天为止(包括这一天)的日数, [x-14]表示为x-14的整数部分(也就是说,三个分数式只取商数的整数部分,余数略 去不计,再把其他几项依次加减就可得到S)。求出S后,再用7除,恰能除尽,这一 天是星期日,若余数是1,则为星期一,依此类推。

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1+2+3+……+100?

从1到100这100个数,有一个特性,那就是挨次把头尾两个数加起来都等于101, 而这样的数刚好有50对。那么也就是在1到100这100个数中共有50对101,因此,这100 个数的总和就是101×50=5050.

23.速战速决,屡战屡胜

打仗速战速决可称为常胜将军,运算中常用速算法也可高人一筹,有些乘法可以 速算,你知道吗?

假设有两个二位数相乘,其十位数是相同的,而个位数的和是10,就可以进行速 算。

因为(10a+b)(10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc=100a2+10ab+10a(10-b)+bc( ∵b+c=10)

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