感觉永远不能告诉我们诸如上帝存在、所有直角都相等这一类问题，所以数学的公理是先天存在的真理，正如它是力学和光学等的基本原理一样。莱布尼兹的贡献主要是微积分以及微分方程创立前所做的工作、对动能重要性的确认。他没有提出新的自然的根本法则，但他那以数学为基础的科学哲学在激励人们寻求真理时，指明了“数学最为重要”的方向。18世纪，数学和数学科学得到了长足的发展。贝努利家族的一些成员（比如詹姆斯·贝努利，其弟约翰·贝努利及约翰之子丹尼尔·贝努利）、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日等继续对自然进行数学探索，他们对微分的技巧有所贡献，并建立了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及多变函数。它们都为探索大自然提供了强有力的工具。虽然海王星的发现是1846年，但它是建立在18世纪数学工作基础上的（1845年剑桥大学的学生亚当斯和加勒发现了海王星）。在光学领域也有许多发现，但对光的物理本性却不清楚，牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为是波的运动，欧拉是第一个用数学处理光振动并得出光的运动方程的人，他力主光的波动本性，并在这个问题上成为惟一反对牛顿的人。19世纪早期的弗瑞奈和托玛斯。
杨的工作都为他的理论进行了辩护。他对流体（气体或液体）以及流体中物体的运动也进行了研究。丹尼尔·贝努利在他的《流体动力学》(1738)中提出了这么一种理论——它可用于描述人体动脉和静脉中血液的流动。1755年欧拉推导出了可压缩流体的运动方程。但欧拉忽视了液体的黏滞性，70年后，麦克斯韦提出了这个问题。
数学支配一切，18世纪最伟大的智者们对此深信不疑，自然的法则就是数学的法则。
19世纪上半叶，数学界仍是生机勃勃，拉格朗日仍活跃在数学界，拉普拉斯正处在其智力的巅峰，傅立叶正致力于研究他1807年的手稿（后来并入了他的经典著作《热论》(1822)），高斯发表了他的《算术研究》(1801)，这是关于数论的一个里程碑。
柯西（A.I.Cauchy）在1804年的论文中，显露出其非凡的才能，他发表了700多篇论文，在数量上仅次于欧拉（18世纪最伟大的数学家），涉及到数学的一切分支，他是复变函数的奠基人。
他既研究数学，又研究物理学。
高斯、柯西、傅立叶以及许多人的成就说明：越来越多的关于自然界的真理正在被揭示出来。但他们都没有意识到，灾难正在降临。这个事件由一系列的事件构成，首先是追求纯粹的数学结果的目的取代了对上帝设计的关注，这就隐含了无神论的萌芽。其次是对人的推理能力的推崇，因为它使数学家们获得成功。对上帝信仰的衰退必然要导致提出这样的问题：为什么自然的法则一定是真理？英国的经验论自F.培根始，现在到了贝克莱和休谟时代。贝克莱否认物质世界的存在，认为“物是观念的集合”，休谟更进一步，他既怀疑物的存在，又怀疑精神的存在，认为两者都是虚幻的，“人只不过是一束感觉而已”，而感觉有时会欺骗我们，其结论是我们对一切都不能有确切的认识。否认了外部世界遵循固定的数学定律，也就否定了代表实在的逻辑推理结构的价值。休谟认为公理和定律，都是同义反复并不是真理。这样，休谟不仅贬低了科学和数学上的成就，而且对推理本身的价值也提出了疑问。休谟对18世纪科学和数学的发难，遭到了一致的反驳，这方面最好的例子是康德。但只要我们认真思考一下康德的哲学，我们就会发现，与别的反驳意见一样，它并不令人折服。康德坚决站在科学家与数学家一边，毫不掩饰地推崇理性，主张来自外部世界的感知提供了科学知识的原始材料，这样就认可了经验价值（构成知识的必然因素），而数学是精神必然法则的揭示者。康德的哲学有解放性的一面，也有束缚思想的一面。他过分强调了人的精神的构建作用。他为创建与当时人们坚信的概念的相反概念打下了基础。但由于他坚持按欧氏几何法则来组织空间感知，就阻碍了其他观点的发展。对于“上帝是宇宙原则的制定者”这一信仰的否定以及“科学法则只存在于人的精神结构之中”的观点，导致了上帝的报复，即万能的上帝转而鼓励非欧几何，这就摧毁了人类自以为是的无所不能的信条。大约在1873年，高斯开始发展他的非欧几何，他相信他在逻辑上相容，而且能在现实中应用，他肯定欧氏平行公理不能从欧氏的其他公理中推导出来。罗巴切夫斯基和J.鲍耶创建了比高斯更系统的非欧几何，他们二人被公认为非欧几何的创立者。如果说非欧几何的创立意味着人们认识到了“除欧氏几何之外，还可以有它种几何”的话，那么它的创立应归功于克吕格尔和兰伯特。然而，关于非欧几何最大的事实是它同样可以像欧氏几何一样，准确地描述物理空间的性质，所以欧氏空间不是物理空间的必有的几何。它的物理真实性不能由任何经验基础证明。后来黎曼关于“空间可以是无界的但不是无限的”观点启发了另一重要的非欧几何——双椭圆几何。
1868年发表了黎曼在1854年写的论文，这使许多数学家们相信：非欧几何也可以是物理空间的几何，我们不能再肯定哪门几何一定正确了，这是多么令人惊骇！
从另一方面看，四元数的引入又引起了数学家们的震动。
它是确实有实用价值的，但却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即ab=ba。汉弥尔顿发明了四元数之后，著名代数几何学家凯莱又引进了矩阵，它是矩形或正方形数组，对它们也可以进行正常的数学运算。四元数和矩阵也只不过是性质越来越奇怪的代数的先驱。新代数的出现，使人们对熟习的算术和代数中的真理提出了疑问。对算术真理的最严重打击来自亥尔姆霍兹，他的《数与量》(1887)认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明。他的结论是，只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。亥尔姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数、无理数及其性质，对于这些经验，熟习的数是实用的，我们认识到存在相等的物体，因此可以说这是两个杯子。然而这些物体必须不能消失、混合或分割，一滴水和另一滴水相加不能得到两滴水。甚至相等的概念也不能用于经验，比如物体a=c，而b=c，则定有a=b，但有可能两个音听起来都与第三个音相同，而耳朵却可以区分开它们。还可以列举出许多例子来证明简单应用算术可能导出荒谬的结果来。一杯40℃的水和一杯50℃的水混合，得不到90℃的水。如果数学家们得出了令人沮丧的结论：数学中没有真理（即作为现实世界普遍法则意义上的真理），算术和几何的基本结构的公理是受经验启发的，所以其适用性不是无限的，古希腊人试图从几条自明的公理出发，仅仅用演绎的证明方法来保证数学的真实性是徒劳的！数学竟然不是一个真理体系，这真令人难以接受。
多少世纪以来，用数学去描述和预测物理现象一直是成功的。要使他们接受“数学并不是一堆天然的钻石，而不过是人工宝石”这一事实的确十分困难。但渐渐地，数学家们还是承认，数学公理和定理并不一定是物理世界的真理。某些领域的经验启发特定的定理，在这些领域这些公理是适用的，但是一旦把这一领域扩大，这种适用性就可以丧失。既然数学家们已经放弃了上帝，他们就应当相信人，他们应继续探索自然的法则，这些法则并不是上帝的规定而是人的创造。使数学永远充满活力的药方是人炮制的。在天体力学、流体力学、光学和电磁理论中获得的伟大成功，以及其预言难以确信的精确程度，才使得它达到了自己光辉的顶点。于是数学的发展在科学中的应用得以更大更快的步伐前进。
以上对数学历史的简单回顾，证明了19世纪确实是人类刚开始进入科学的世纪。生活现实的变化，科学家和数学家们对自己学科的执著探索，使人类的思想空前活跃，理性的大花园里百花竞放。麦克斯韦正处在这一时代，他理智的成长，在物理学和数学等科学研究领域的成功，没有这样丰富的文化沃土的培育是不可能的。他生于这样的沃土，呼吸着富于营养的新鲜空气，加上他的天才，所以能做出超越前人的伟大贡献。
