3.数学物理学
到此为止，我们一直在讨论机械论的和力本论的传统，还没有讲到对它们的表达，在数学物理学这个领域里，这又是顶重要的。这里需要提请读者注意，在某些情况下，对麦克斯韦来说，这是最容易混淆的哲学背景部分。在这里，力学和动力学只有技术上的含义，它们与当下讨论的问题没有关系。为了说明这种混淆，对动力学的经典研究（在科学和哲学的意义上），表现在拉格朗日的著作《分析力学》中，当代最有名的动力学理论可称之为量子动力学。在每一种情况下，对形容词（分析的、量子的）的限定表明这种理论不是一般的力学。在以上两种情况中，混淆还可能起源于一种哲学传统的数学技巧，或数学物理学分支，常常被自由的使用。一旦认识了这一点，两种态度之间的区别在数学物理学中比其他领域（科学与哲学）就更清楚了，数学物理学的不同方法构成了对这个课题的特别兴趣，它对理解麦克斯韦的电磁场理论很有帮助。
18世纪的大部分时间，机械论的和力本论的科学体系之间的区别在数学的范围内并没有明显的表现。人们努力把牛顿和引力论解释框架扩大到电的、磁的、化学的现象，但主要是定量的分析，而不是作数学的分析。从数学上来研究这些问题主要表现在宏观领域，这里并不需要在有争议的微观领域作物理学的假定。行星系统的问题，滑轮或弹性以及计量单位并没有用处，流体、弹性体的性质是更为奥妙的。只是到了19世纪，在这些领域里进行数学分析，才进入了物理的和批评的范围。
18世纪的数学物理学目睹了抽象和一般性不断增长的倾向，特别明显地表现在J·达兰贝尔这个法国数学家的著作之中，其顶峰是意大利人约瑟夫·路易斯·拉格朗日，他把自己的注意力集中在这个领域，即牛顿动力学的基础和牛顿运动定律的现状上。他从数学的观点出发，采纳牛顿的英国信徒们的例子，把运动定律坚实地建立在经验之上。达兰贝尔则把牛顿的理论看成是一个建立在一套公理之上的抽象的数学系统，这一套公：哩是由纯理性提供的，独立于任何经验的验证。在他看来，牛顿的第一运动定律（作用与反作用）只能满足纯理性公理的要求，他能重新系统阐述第三定律（力）以满足这种理性的标准。
拉格朗日早期的研究主要是L·欧拉的著作。但是到了18世纪60年代，他跳出了这个范围而开始研究达兰贝尔的著作，以及他自己在发展纯分析的和理性的力学中的有效速度的原则。1787年他出版了《分析力学》，当时他生活在巴黎，他用自己的眼：光来看待数学物理学的原则。拉格朗日的方法完全是分析的，他的这个系统是根据任意的概括化的坐标来定义的，完全脱离了可见的、几何学的或力学的表达与建构方式。对这样的系统来说，不是建立具体的模型和运动方程，而是提出一套完全一般化的方程——这就是拉格朗日的运动方程，它适用于任何系统。在这里，我们主要是认识作为这个系统的惯性能，而不是对这个系统进行描述。
拉格朗日的数学物理学方法是一个力本论的方法，这可以从两种意义上去看，一是他的理性声明——动力学的法则之根扎在人的心里而不是外部世界里；二是他解决物理学问题的分析方法。作为解决数学物理学问题的力本论的方法，赢得了辉煌的胜利。这个方法不需要力学的假设，消灭了一切作为公理而假设的内部力的限制，只从可看到的这个系统的作用开始，根据被运用的力和反作用力来解释一切。不过，对遵从机械传统的法国的数学家P.S.拉普拉斯来说，拉格朗日的方法就与牛顿的精神相悖了。拉普拉斯比拉格朗日小13岁。1796年，他在《世界体系论》中提出和解释了一种选择的方法和机械论哲学的方法论。假定存在着人看不见的分子和分子间具有相互作用的力，从数学上得出了这个假定机制的结果，并想用实验检验它们，如果能得到证实，那么这个假设就得到肯定。根据拉普拉斯运用的数学，全部假设的分子机械系统都可以精确地进行描述。拉普拉斯这种积分的系统表达方法不同于拉格朗日的微分的表达方法。拉格朗日把力学的基本公理看成是先验的，来自纯理性；而拉普拉斯则把它们看成是来自对自然界的经验观察，对比之下，拉普拉斯的方法是纯粹的机械论的方法，一种信奉超距作用的态度。
拉格朗日和拉普拉斯是同一时代两个最伟大的数学物理学家，虽然两个人的方法与态度不同，但二人的关系很友好，互相尊重对方的成就。这两个人代表了物力论和机械论这两极，但没有形成敌对的两个体系，如果这两种方法的争论在他们生前没有出现在数学物理学领域，但在后来却激烈起来了。19世纪前40年，在法国和欧洲数学物理学的发展成为明显的两个敌对的学派。拉普拉斯学派由拉普拉斯代表（一直到他1827年去世）。这一派的代表人物还有拜奥特(Biot)、拿维叶、柯西和布瓦松。另一派则追随了拉格朗日的分析方法，包括弗瑞奈、傅利叶、欧姆和安培。
这两个学派之间的竞争是电磁场理论历史上突出的特点，特别是在热理论方面。
19世纪早期关于热理论的争论主要集中在约瑟夫·傅利叶的工作上，他把他的理论建立在拉格朗日理性力学的模型之上，在热理论上主张拉普拉斯的力学传统。但是，与力本论的传统相一致，傅利叶宣称“原初的原因我们是不能认识的”。物理学不能建立在不能检验的假设基础上（力学主义者这样主张）。
为了不用这样的假设，他提出了“简单的和不变的法则，通过观察可以发现它们”，这样，就可以把热传播的物理学研究归结为积分问题，而它的原理是实验提供的。
在实践中，傅利叶的方法导致了一个完全相反的更为一般的力学过程。对热转换传统的力学观点是根据热原子来证明的。为了在一个固体中建立起热转换的法则，机械论者们本应当考虑到在一定距离内的相互作用，而且考虑在一个物体内一切相：互作用的分子，这就导致了宏观的法则。对比之下，傅利叶从宏观的作用出发，从经验的观察出发。热的转换率从一个热的物体到一个相对凉的空间的过程，表现出在那个物体和那个空间之间的合乎比例的温度差，但又与绝对的温度无关。为了把这种经验的法则变换成数学分析的基础，他考虑了流过有限厚度棱柱的热的情况。为了解决边界的问题，越过有限的厚度，其每一侧都保持了不变的温度。然后，他作出了一个关键性的假定，不是这个物体内部的分子在一定距离内相互作用，而是互相接近的各层面直接传递热，除了绝对靠近的点之外，不存在直接的作用。
这个假设是以经验为基础的，因为实验表明，在一个物体上偶尔散发出的热不能穿透边界。不过当把实验用到宏观现象时，热甚至穿不过极小的距离。傅利叶把这个假定用于微观作用，并假定热不能穿过无限小的空间距离，随之而来的是他的第一个经验意义的法则，从固体到媒质的热的转换率也能适用于从一个物体的任何部分，向任一部分的转换率。假如两个侧面的热处于平衡态，那么所有的热就会保留，根据经验法则，任何两点间的热流动对它们的温度差来说都成比例。傅利叶推论道，经过两侧的温度的变化率是不变的，他又把经验的热转换法则应用于越过表面的热转换上，温度差表现在微观的限度内，温度的变化率采取了如下的形式：
以上傅利叶的法则是根据一般的力学模型做出的。但是，这种理论却从4个方面脱离了这些模型。
首先这种理论在本质上是分析的，具有拉格朗日的风格，与机械论的和几何学的假定没有关系。
其次，它否认了力学哲学的基本前提（一切物理现象都可以用力学来解释）。
第三，它否认了超距作用——拉普拉斯机械沦的核心。
第四，这种理论只是在一定限度内才是正确的，在这个限度内，物质与热都被看成是连续的，已知的作用发生在很小的距离内，把以上的理论用到物理理论上，从根本上就否定了力学的理论（以原子假设为基础）。更重要的是这样的事实：它一点也没有物理学的气味！傅利叶在实际上不能否认分子的假设，他只把它看成是一个假设，而不是事实。他从没有说过，物质的分子图画可以用一个连续体来代替，这就意味着他的法则必须解释成对热的作用提供了一个近似的描述，所以在微观的层次上，它是物理学上的中性。总之，这种理论主要不是来反对力学的假定，而是反对机械论的全部理想：它是彻底的物力论的方法。
在法国，人们对傅利叶的理论反应冷淡，拉格朗日和拉普拉斯都没有谈过它。拉格朗日同情物理学，但他又认为物理学在数学上还很幼稚，拉普拉斯也不满意物理学的方法。这样，对傅利叶的理论来讲，就没有一个力学的对应物，拉普拉斯曾试图作出来，后来他提出一个大纲，在此基础上，建立起了热的确切理论，他对傅利叶并没有表现出敌意，他似乎已经认识到傅利叶理论的价值，虽然他并不同意它，他的学生J.B.拜奥特不断批评傅利叶，到1815年和1816年，拜奥特和布瓦松都从傅利叶的热法则出发进行了机械论的引申，同时，法兰西学院也把固体热传导的性质当成了1811年大奖的课题，当然得主是傅利叶。但颁奖委员会由拉普拉斯把持，他不同意傅利叶的观点，于是推迟了对傅利叶理论的承认。当然傅利叶十分生气。后来，拉普拉斯本人也意识到，关于热的机械说是有错误的。
在1819~1821年间，傅利叶的理论得到了承认，他的论文获得大奖。到1822年，才正式出版修改了的《热理论》。在傅利叶死后，布瓦松于1835年出版了完全机械论的《关于热的数学理论》一书，基础是拉普拉斯的理论。布瓦松的观点，在一种意义上专为适应时代，根据1817年杜龙伯第的法则，他允许温度作非线性的变化。不过，傅立叶认识到，他所使用的经验论法则只能是近似的。他还认识到，这种理论最好以一个新的法则作基础，这对经验论的方法来讲，是一个巨大的进步。
我们将会看到，傅利叶的热理论在数学物理学的发展过程中占十分重要的地位。与它一起，年轻的麦克斯韦成长起来。在热理论中还出现了一个冲突，这就是关于光和弹性体的理论。
1801年，托玛斯·杨证明了光的干涉效应；在1814~1821年间，A.弗瑞奈提出了光的波动论，这可以看成是一个力本论的理论，它与拉普拉斯及其追随者们提出的光的机械论的粒子论正相反对。机械论者们对光和对热一样，都看成是由原子放射出来的一个实体，弗瑞奈把光看成是在发光的以太中以波的形式存在的东西，而这种以太则被看成是一种弹性体，但它的性质是由光的可观察到的现象从经验论的观点上来定义的，而不是根据一个真的弹性体的力学来定义的。这正如在傅利叶的著作中看到的情况一样，一个假设的机械论的研究被一个分析的经验论的研究（带有一切力本论方法的印记）代替了。1830年，A.柯西（和布瓦松一样，也是拉普拉斯的门徒）已经提出了一般的弹性体的力学理论，试图用一个真正力学的理论来代替弗瑞奈的经验论的媒质的定义，但他没有成功。
从当代人的观点看，应从年代上倒转看数学物理学两个传统的代表人物。拉格朗日似乎比拉普拉斯更接近当代化，但他比拉普拉斯大13岁。傅利叶似乎比布瓦松更为现代，但前者比后者大20岁。这种情况反映了这样的事实：拉普拉斯的传统，虽然一直在统治法国的数学物理学，但从整体的物理学史来看，似乎走上了死胡同。不论在法国还是在整个欧洲大陆，19世纪占统治地位的依然是拉普拉斯的分子假设、超距作用、演绎的积分系统、傅利叶和弗瑞奈的理论也有支持者，有些支持者在一般物理学和特殊的电磁理论的发展中起了重大作用，但总的气候对动力学的方法不利。但是在英国情况有很大不同。事实上，英国成了物理学下一个阶段发展的主要发源地。
作为许多因素共同作用的结果，其中包括爱国主义的牛顿式的流数的分析（大陆支持莱布尼兹式的微分分析），这里还有拿破仑战争的外部因素。在英国科学中，影响了皇家学会这种机构发挥作用的大问题，延迟了牛津和剑桥这两所保守大学的发展。19世纪末和20世纪初欧洲大陆数学物理学的发展把英国抛在了后头。拉普拉斯的工作后来才对英国人发生了影响，而英国人在进入19世纪时，连拉格朗日的书也没有听说过。当法国的数学物理学介绍到英国时（进入剑桥数学荣誉学位考试内容），英国人才开始认识微积分的基础、导数的定义和积分。
作为对手的拉格朗日和拉普拉斯，现在在纯数学的内容上拉起手来了。他们都主张代数的方法，反对几何学的方法。
英国人开始对数学物理学中一些问题进行研究。苏格兰人J.普雷弗尔和J.罗比逊支持动力学法则的纯理性源泉。到19世纪，这里出现了一种苏格兰传统，它们的代表就是上面提到的那两个人，到此时，苏格兰的物理学才开始在英国占统治地位。
