不变量理论研究的最初方向，是发现那些特殊的不变量，寻找都有哪些不变量。当许多不变量被求出后，数学家们转而又想研究这样一个问题：
“是否存在一组基（即一组个数有限的不变量），使其他所有的不变量（尽管它们的个数有无穷多），都能够用这组基的有理整形式表出。”
这就是著名的果尔丹问题。
如果通俗地理解这个问题，我们可以这样想：对无穷多的不变量，我们要寻找一个简捷的办法，用有限个最基础的不变量（称为一组基），通过运算，把它们都表示出来。如果这个问题解决了，不变量的结构就清楚了。这当然使问题简化了（数学总是追求简单化）。但最主要的是寻找到这个“基”。这个基，好比积木中的最基本块，所有造型利用它们都可以搭出来。但对构成基的这些积木块，也要有要求，就是这些积木块之间不能由你搭出它，由它搭出你。最好的比喻是色彩。无论怎样千变万化的色彩，你用三原色——红、黄、蓝都可以调出来，但这三种色，相互调不出来。这三原色就可以理解为色彩的一组“基”。但对千变万化的不变量来说，寻找所有的基，是非常困难的。
果尔丹自己证明了一种叫“二次型”的最简单的代数形式存在一组有限基。用有限个基，做出所有的二次型，可以想象这个问题多么困难而重要。果尔丹因为这项伟大的突破开始了他的科学生涯，仅仅如此，果尔丹就被冠以“不变量之王”，而且上述没有解决的其他一般情况下的不变量的基的问题，也被命名为“果尔丹问题”。
希尔伯特拜访果尔丹时，果尔丹完成二次型的证明已经20年了。20年来，多少数学家在努力探索这个问题，结果还是没把果尔丹的证明再向前推进一步。
拜访果尔丹时，希尔伯特已经深入地研究了果尔丹问题，现在听了果尔丹本人的讲述，更激起了他无法遏制的创造力和丰富的想象力。
希尔伯特离开了果尔丹，但果尔丹问题陪伴他上了火车，旅途还没有结束，他就针对果尔丹本人关于二次型的那个定理的著名证明，重新给出了一个更短、更简单也更直接的证明。关于这个证明，一位美国数学评论家说：“当知道那煞费苦心得来的一直流行的果尔丹的证明，能够用另一个不占满四开本四页纸的证明所代替，确实令人愉快而惊讶！”
3月出发，访问了21位数学家，回到哥尼斯堡时，“果尔丹问题”占据了希尔伯特整个的身心。无论是工作还是娱乐，甚至吃饭时，他都在思考。到了8、9月份，也就是半年后，他给哥廷根科学会寄出了一份短短的文章。他完全出人意料地采用一条全新的证明路径，宣布这个著名的果尔丹问题已获解决。
整个数学界为之一惊。
人们还没弄清这是怎么回事，几乎是完全不相信这项结果。暂短的平静之后是万丈波澜。当希尔伯特关于果尔丹定理的证明出版时，一些老资格的数学家甚至说，“至今我还没有能够确实弄懂你所得到的这样的证明。”林德曼断定，希尔伯特的方法，令人不快、有害、古怪。
果尔丹本人则大声疾呼：“这不是数学，这是神学。”
为什么这些大数学家也不能接受希尔伯特的工作呢？
过去，果尔丹解决问题的方法是算。他通过具体计算，求出问题的解——把有限基构造出来，就像解方程一样，把根具体求出来。果尔丹写的文章有时全是公式，有时公式推演竟长达20页。
除了繁难的计算以外，果尔丹的算法证明确实比较可信。已经造出来了，摆在那，那就是真的解决了问题。自从果尔丹解决了二次型中最简单的情形以来，数学家们一直企图把果尔丹的结果再向前推进一步，把一般情况下的问题给予解决。他们也都采用果尔丹的办法，去算，去构造出这个基。当时，在德国《年鉴》上发表的不变量的文章，整页纸登不下一个单独式子的情形，司空见惯。研究者们使用这种构造的方法，虽然不能见效，但却一心想用这种方法解决问题。他们总在寻求更好的技巧，以为它还没被人发现。
希尔伯特换了一种想法，他感到，要获得预期的证明，唯一的办法，是要用与过去不同的途径。他把算法工具搁置一边，从本质上改变了问题的提法，从逻辑上证明，这个基是存在的。相对于果尔丹，他并没让人看到这个基，而只是证明了基的存在性。现在这种证明方法很普通，但在当时，人们完全不能接受。这种解决问题的办法，非常像亚历山大解开难解的果底亚斯结。
相传在果底姆有辆著名的战车，有一根用山茱萸树皮编成的绳索牢牢地捆在上面。按当地居民的习俗，无论谁想取得那保留着的世界地位，就应该把绳结解开。传说亚历山大发现绳结缠绕盘转，绳头又隐包在结的里面，自己无法解开这个结，于是拔出宝剑将它砍为两段。
故事说的是亚历山大采用了反常规的办法，出人意料地解决了问题。希尔伯特把握了问题的全局，深刻地认识了问题的本质，他的反常的思维方式，的确像亚历山大一样，给世人一个意外的惊奇。
希尔伯特继续这方面研究，不变量之王果尔丹给出了希尔伯特的一个定理的另一种证法。果尔丹向希尔伯特表示了这位老人难得的向年轻人表示的敬意。并诚恳地表示，没有希尔伯特的工作，没有希尔伯特发展起来的数学概念，自己的证明是不可能得到的。
数学界这时才普遍认识并接受了希尔伯特的工作和影响。
在这之后两年，希尔伯特一直在寻找强有力的工具，把“基”造出来。功夫不负有心人。因为有了存在性证明，问题容易多了。现在希尔伯特找到了构造方法，那个看得见的“基”，他已经造出来了。
正如闵可夫斯基形容的：“我早就清楚，由你来解决掉这个老的不变量问题，只是个时间问题——就像是‘i’只缺了那个点；但是它竟如此出奇地一下子给解决了。”
希尔伯特的办法相当简单。但他这个成就所带来的深刻影响，却是无法估计的。听听别人怎么说吧，从这里你可以体会到他工作的巨大意义。
闵可夫斯基高兴极了，他为朋友的成就而激动，文学灵感腾空翱翔，他描绘出这样的景象：希尔伯特的第一个存在性证明，也许产生了一阵烟雾，遮掩了果尔丹的眼睛；现在希尔伯特找到了一种无烟火药，强盗王们——果尔丹和其余的人的城堡已被夷为平地，而且有着再也无法重建的危险。
果尔丹优雅地退让了：
“我一直确信，神学也有它的价值。”
希尔伯特用他特有的极其漂亮的方式和结果，结束了一直被人们讨论着的不变量理论。后来一位数学家写道：“整个理论的呼吸停止了。”
令人惊奇的还在于，解决这一问题的希尔伯特连副教授都不是，那时他还不到30岁。
学习旅行使希尔伯特开阔了视野。希尔伯特解决果尔丹问题用到的一条引例，其中的概念，就是在拜访克隆尼克时得到的。希尔伯特把它派上了大用场，解决了大问题。他解决问题的思想自然朴素，既不玄，也不神。希尔伯特的思想让人感到又自然，又朴素，又简单，又深刻。思想的灵感，闪光的火花，在交流中迸发。希尔伯特踏上了成功之旅。他认识了自己，认识了钻研个别重大问题的意义，认识了交流的重要。他正在攀登现代数学的高峰，努力成为第一流的数学家。
