1.流传久远的算术趣题
古代俄罗斯民间流传着这样的算术题：
“路上走着七个老头儿，
每个老头儿拿着七根手杖，
每根手杖上有七个树杈，
每个树杈上挂着七个竹篮，
每个竹篮里有七个竹笼，
每个竹笼里有七只麻雀，
总共有多少麻雀？”
老头儿数是7，手杖数是77=49，树杈数是777=497=343，竹篮数是7777=3437=2401，竹笼数是77777=24017=16807，麻雀数是777777=168077=117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀。七个老头儿能提着十一万多只麻雀遛弯儿，可真不简单啊！若每只麻雀按20克算，这些麻雀有2吨多重呢！
2.惊人的老鼠繁殖
一对老鼠原也没什么稀奇，但谈到它们的繁殖能力，确实叫人大吃一惊。
这是日本古代一本有名的算术书《尘劫记》里的题目。
“正月里，有2只大老鼠生了12只小老鼠，这两代共计是14只。
这些长大了的老鼠在二月里互相成亲，每对(2只)都生了12只小老鼠，连大带小共计是98只。三月里又有49对老鼠各生下12只小老鼠。这四代共计是686只。
这样，每月一回，父母、儿女、孙子、曾孙子、子子孙孙，总是每对生12只，那么12个月里将变成多少只呢？”
经过计算，是二百七十六亿八千二百五十七万四千四百零二只。这是多么大的数字，又是多么惊人的繁殖能力呀！
3.全体数字向我朝拜
小朋友，你们听说过维纳这个名字吗？诺伯特·维纳是20世纪最伟大的数学家之一，如今被广泛应用的数学分支信息论、控制论都是由他奠定基础的。
维纳有着非常高的天资。据说，他3岁就能读会写，7岁时就能阅读和理解着名诗人和科学家高深的着作。他大学毕业的时候才14岁，过了几年，他又获得了世界闻名的美国哈佛大学的博士学位。
在授予维纳博士学位的仪式上，来了很多客人。其中有一位嘉宾看到年轻的维纳，好奇地问他：“你今年多大啊？”
维纳虽然获得了博士学位，但毕竟还是个孩子，听别人这样问他，不禁就想当众显示一下自己的才智。他说：“我今年的岁数，连续乘三次，是个四位数；连续乘四次，是个六位数；两个数正好是把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部用上去，而且既没有重复，又没有遗漏。这意味着，全体数字都向我朝拜，预祝我将来在数学领域里干出一番大事业来！”
维纳这么一说，好像给所有在座的嘉宾出了一道智力题一样，大家都在纷纷议论，维纳到底有几岁。其实，这个题目说难也不难。只要多试几次，就可以了。假定维纳的年纪是在20岁左右，那么我们可以把20上下的数字都来试一试，看看是不是符合这些条件。我们看到，222222等于10648，已经是五位数，所以不合条件，可以排除。而17171717等于83521，又小了，不符合乘四次是个六位数的条件。这样一来，答案就在18、19、20、21之间了。202020=8000，19191919=130321，21212121=194481，这几个结果里都有重复的数字，所以也不合题意，最后就剩下18了。我们来看看：
181818=5832
18181818=104976
果然没有重复的数字。所以，维纳当时应该是18岁。
4.韩信暗点兵
我国汉初军事家韩信，神机妙算，百战百胜。传说在一次战斗前为了弄清敌方兵力，韩信化装到敌营外侦察，隔着高大寨墙偷听里面敌将正在指挥练兵。
只听得按3人一行整队时最后剩零头1人，按5人一行整队时剩零头2人，7人一行整队时剩零头3人，11人一行整队时剩零头1人。据此韩信很快算出敌兵有892人。于是针对敌情调兵遣将，一举击败了敌兵。这就是流传于民间的故事“韩信暗点兵”。
“韩信暗点兵”作为数学问题最早出现在我国的《孙子算经》中。原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何子”
用现代话来说：“现在有一堆东西，不知它的数量。如果三个三个地数最后剩二个，五个五个地数最后剩三个，七个七个地数最后剩二个，问这一堆东西有多少个？”
该书给出的解法是：
N=702+213+152-2105
这个解法巧妙之处在于70、21、15这三个数。
70可以被5和7整除，并且是用3除余1的最小正整数，因此270被3除余2；
21可以被3和7整除，并且是用5除余1的最小正整数，因此321被5除余3；
15可以被3和5整除，并且是用7除余1的最小正整数，因此215被7除余2。
这样一来，702+213+152被3除余2，被5除余3，被7除余2。这个数大于100，容易算出3、5、7的最小公倍数是105。从这个数中减去两倍的105，不会影响被3、5、7除所得的余数。
N=702+213+152-2105=23
仿照《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，来算一算“韩信暗点兵”：N=3851+2312+3303+2101-1155=2047-1155=892
“韩信暗点兵”在中国古代数学史上有过不少有趣的别名，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等。
这就是着名的“中国剩余定理”或“孙子剩余定理”。
5.到底有多少兔子
你知道澳大利亚吗？它位于南半球，是大洋洲的一个国家，它的国土全都被海洋包围着。我们今天先讲的是一个澳大利亚和兔子的故事。
本来，澳大利亚没有兔子，1859年，一家动物园引进了24只兔子，供人们观赏。可是几年后的一天，动物园失火了，关兔子的栅栏被烧毁，兔子全都跑了出来，变成了野兔。谁也没有想到，兔子繁殖的速度竟会是这样惊人，短短几十年的时间，就达到了40多亿只。它们破坏庄稼，和牛羊争吃牧草，造成的损失十分巨大，使人们大伤脑筋。尽管人们采取了大量措施，可是兔子的祸害还是不见减轻。
为什么兔子会繁殖得这么快呢？我们再讲一个故事，你就会知道了。12世纪，意大利有位叫做斐波那契的数学家写了一本《算盘书》的着作，他在里面说明了怎样应用阿拉伯数字，和如何用它们进行加减乘除计算和解题。在其中，他通过一个有趣的故事，出了一道题：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔子在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔子，假如每只兔子都能活下来，那由第一对兔子开始，1年后能有多少对兔子？”从第一个月开始，兔子的对数就依次为1，1，2，3，5……，可以看出，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，而一年后，就是1+(1+2)+(1+1+2)+(1+1+2+1+1+2)……一直加到第十二个月，那么，共有兔子144对，共有288只，而如果按这个规律再往下写下去，增加的速度是特别惊人的，到第571个月，就是说到第47年的时候，一共有多少兔子了呢？这个数目要达到96后面有117个零！如果真到那个时候，这些兔子恐怕地球都装不下了呢！
6.鸡兔同笼
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代着名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
7.春联中的数学
清乾隆五十年，朝廷为了表示国泰民安，曾邀集了全国有声望的老人逾千人，为他们举行了一次盛大寿宴。在宴会上，乾隆看到一位老寿星，鹤发童颜，神采奕奕，一问竟是与会者中的最长者，非常高兴，就以这位寿星的岁数为题，说出上联。座中一位博学多才的大臣纪晓岚即时对出了下联。
乾隆的上联是：花甲重开，又加三七岁月。
纪晓岚的下联：古稀双庆，更多一度春秋。
那这位寿星到底年岁几何呢？
上联中的“花甲”是指60岁，“花甲重开”就是两60，“三七岁月”是21岁，即602+21=141。
下联中的“古稀”指七十岁，“古稀双庆”就是两个70岁，“一度春秋”就是1年，即702+1=141。
8.米兰芬算灯
李汝珍，清代人，是个“学无所不窥”的才子，可能是学问钻研多了，所以官场上却甚不得意。他写了好几本书，《镜花缘》是流传最广的一本。此书中描写了一位精通算学的才女“矶花仙子”名叫米兰芬。
米兰芬和众姐妹在宗伯府聚会，来到小鳌山楼上观灯。楼上的灯形状有两种，一种灯是上面三个大球，下缀六个小球，一种灯是上面三个大球下面十八个小球。楼下的灯也有两种，一种是一个大球缀二个小球，一种是一大球缀四个小球。知道楼上有大灯球396个，小灯球1440个，楼下有大灯球360个，小灯球1200个。
才女们要米兰芬计算，楼上楼下的四种灯各有多少盏？
米兰芬说：“以楼下论，将小灯球数折半，得600，减去大灯球数360，即得缀四个小灯球的灯数为240，用360减240得120，即得缀二个小灯球的灯数为120。此用‘鸡兔同笼’之法。”用同样的方法算楼上灯数：“以1440折半，得720，720－396=324，324÷6＝54。得缀十八个小灯球的灯数为54。用396－543＝234，234÷3＝78。即缀六个小灯球的灯数为78。”
这里说的“鸡兔同笼”法，是指的我国古代的一种类型题目，比如在一个笼中关有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问鸡、兔各有多少？
对此题，有一个简单巧妙的算法，就是：如果让鸡都缩起一只脚，“金鸡独立”站着；让兔子全部抬起二只前腿，只用二只后腿站着，这时，再数脚数，就应是240除以2，得120只脚。
如笼中全是鸡，由于此时数鸡时，每只鸡都是一头一脚（另一脚缩起来了）。故100只鸡应只有100只脚，现在却有120只脚，多的20只脚是那儿来的呢？原来每只兔子都要多数1只脚，这就说明兔子数是20，而鸡数则是80。
现在你明白了米兰芬的算法了吧！比如说楼下的灯，一大球下缀二小球，就相当于“一只鸡有二只脚”，一大球下缀四小球就相当于“一只兔有四只脚”。所以，用“鸡兔同笼”之法就算清楚了。
至于楼上的灯，小球数折半，就相当于把灯改制成“每灯三个大球，下缀三个小球”和“每灯三个大球，下缀九个小球”这两种。如果都是前一种灯，则大小灯球数应相等。现小球数为720（=1440÷2），大球数396，多出324个小球。是因为每盏第二种灯小灯球多出6个的原因，从而用324÷6＝54，即其中有54盏第二种灯，第二种灯共用大灯球162个，故第一种灯用大灯球234个，除以3得78，就是第一种灯数了。
朋友，如果换了你来解决这道题，你又会怎么做呢？
9.铺地锦
前面已经介绍了，米兰芬是《镜花缘》里的一个“才女”，精通数学，在书中有不少她解数学题的故事。
有一位才女要考考米兰芬：“有一套金杯，大小一共9只，共用126两黄金打造，这些杯子从小到大每只都比前一只重同样多，且第二只是第一只重量的2倍”，她问米兰芬，“你能算出杯重吗？”
米兰芬说：“这要用‘差分之法’。”并算出这9只杯子重量依次为2两8钱、5两6钱、8两4钱、11两2钱、14两、16两8钱、19两6钱，22两4钱和25两2钱。
这里“差分之法”实际上就是现在的等差数列的计算方法。由于从第二个杯子起，各个杯子的重量分别是最小杯的2、3、4、5、6、7、8、9倍，所以，这些杯子的重量是最小杯子的
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝9（9＋1）÷2＝45（倍）。
于是，最小的杯子重量为126÷45＝2.8（两），以后再算出各个杯子的重量。
又有一位才女指着一张圆桌，问米兰芬：“你能算出它的周长吗？”
米兰芬说可以，她叫人拿尺量得圆桌直径为3尺2寸，然后画了一个“铺地锦”：
