谁都知道飞机快，火车慢，自行车更慢。可是人们对各种速度的认识，并不都是这么简单明白，没有争论。
谁先落地
两件轻重不同的东西，同时从楼上自由下落，哪个先着地？你可能说重的先着地，也可能说重的轻的一起着地，究竟哪个回答对呢？
这个问题，人们很早就注意到了。公元前三百多年，古希腊有个哲学家叫亚里士多德，他认为轻重不同的两件物体，从同一高度自由下落，一定是重物先着地。亚里士多德的名气很大，“先哲”的话当然不会错，所以人们把重物先着地的说法当作真理，信奉了2000年。
16世纪末，比利时的工程师斯台文指出，重物先着地的说法是错误的。他说，在不考虑空气阻力的情况下，轻重不同的物体应该同时着地。斯台文还作了实验，他拿轻重不同的两件物体，从十米高处同时自由下落，结果是同时着地。
一个不知名的人竟敢说“先哲”的话错了，竟敢说人们把这个问题认识错了2000年，哪里会有人信哩！
著名的比萨斜塔实验
真理和谬误不容颠倒。继斯台文之后，意大利物理学家伽利略，继续向亚里士多德的错误发起进攻。
与斯台文一样，伽利略也认为轻重不同的物体应该同时着地。为了回答保守势力的反对，他于1590年作了一次自由落体实验。
在意大利比萨城郊有一座倾斜的古塔，伽利略就选择这个斜塔作为实验场地，邀请了许多人来参观，进行了著名的“比萨斜塔实验”。伽利略让一个一磅重和一个一百磅重的两个铅球，同时由塔顶自由落下，只听见“咚”的一声响，两个铅球同时着地了。这“咚”的一声，宣布了伽利略的胜利，同时也宣告了亚里士多德统治人们将近2000年的错误理论彻底破产！
比萨斜塔实验，不但使人们承认了物体下落的速度，与物体本身的重量无关；而且还告诉人们，物体在自由下落的过程中，速度不是一成不变的，而是越往下落速度越快。
伽利略还通过实验发现，自由落体运动的速度变化是有规律的，这就是每过一秒钟增加约9.8米。因为自由落体是由静止开始下落，所以第一秒末的速度＝9.8米／秒；
第二秒末的速度＝9.8＋9.8＝19.6米／秒。
如此等等。如果用g表示9.8，每过一秒，速度就增加一个g，过t秒，速度就变成为gt了。
伽利略第一次找到了关于自由落体运动的公式：v（速度）＝gts（路程）＝12＝gt2伽利略把实验方法与数学计算结合起来，为物理学的研究开辟了新的方向。
变速运动
16世纪的欧洲人，认为炮弹是沿着折线飞行的，甚至在教科书里也这样讲。
为什么他们会这样认识呢？估计这是因为在放炮的人看来，炮弹总是沿着直线飞出去的；而在挨炮弹的人看来，炮弹也总是沿着直线从天而降。把两者合在一起，炮弹就成了按折线飞行的了。
伽利略通过实验和计算，告诉人们炮弹飞行的路线不是一条折线，而是一条曲线。他还给这条曲线取了一个形象的名字，叫做“抛物线”。与此同时，他还指出飞行中的炮弹和自由下落的物体一样，速度也在随时变化，是“变速运动”。
伽利略大胆构思，精心实验，并且用数学计算论证结论，一连纠正了人们的两个错误认识，为普及科学知识和引起人们对科学研究的兴趣，做出了可贵的贡献。
伽利略求速度的故事就讲到这里。这个故事给我们提出了一个既重要又有趣的问题：变速运动的速度随时变化，怎样正确理解和掌握变速运动的“瞬时速度”呢？
“飞矢不动”论“瞬时”是一瞬间的意思。要正确理解物体运动的瞬时速度，首先要搞清楚什么是“一瞬间”。平时，我们爱用“一眨巴眼”来形容很短的时间。物理学上的“一瞬间”，可要比“一眨巴眼”短得多了。对于瞬时速度，我们可以先粗略地把它理解为：在非常、非常短的一丁点时间内，物体运动的速度。
仔细想想，你可能会问，物体运动离不开时间，如果时间非常、非常短，物体还能运动吗？
在很长的时期里，人们对瞬时速度是否存在，一直议论纷纷，争论不休。公元前4世纪，古希腊有个著名人物叫芝诺，他不但反对有瞬时速度，而且认为运动也是不可能存在的。
芝诺能言善辩，有人写诗形容他：“大哉芝诺，鼓舌如簧；无论你说什么，他总认为荒唐。
”芝诺编造了许多诡辩问题，其中一个叫做“飞矢不动”。所谓诡辩，就是用貌似正确的方法，来论证错误的结论。“飞矢不动”的意思是说，飞行着的箭根本没动地方。
芝诺是这样来论证他的诡辩的：如图，箭要由A点飞到B点，它首先要经过A、B的中点C。箭要由A飞到C，又先要飞到A、C的中点D，而A、D两点之间还有中点E。依此类推，不管两点距离多近，它们之间总还会有中点的。因为我们永远也找不到距离A点最近的中点，所以箭也就动不了。
“飞矢不动”的结论如此荒谬。但是，要从芝诺的论证中找出它的错误，却是十分困难的。
可见当时人们对运动的认识还很不够。
掌握速度17世纪的欧洲，由于远洋航行的兴起，枪炮的使用，人们越来越要求精确掌握物体运动的速度。
大炮射程的远近，一方面和大炮的仰角有关，另一方面和炮弹离开炮口那一瞬间的初速度有关。在仰角固定的情况下，初速度越大，炮弹飞行得越远。为了提高大炮的射程和命中率，必须准确掌握炮弹飞行的初速度。
远洋航行需要随时确定船只在大海中的位置。稍有差错，航行的方向不对头了，就可能引起船只沉没，船员死亡。当时使用的方法是观察日、月、星辰的位置，叫“天文导航”。但是，天体在运行，航船在前进，为了使天文导航准确可靠，必须准确知道行星和航船的速度。
此外，在17世纪发展起来的机械力学、流体力学等科学技术，也需要精确掌握运动的速度。
流木测速法
公元3世纪，我国三国时期的吴国，经常派船到东海和南海一带去。船只在茫茫的大海中航行，怎样知道航行的速度呢？他们的办法是：在船头把一块木板投入海中，然后从船头快速跑到船尾，记录下木板从船头到船尾的时间。船身的长度是知道的，比如船身长40米，除以木板从船头到达船尾的时间，比如10秒，就可以知道船速是4米／秒。
这样测量出来的速度对不对呢？如果海面风平浪静，船只又保持方向不变，速度不变，测量出来的速度是正确的。这样的运动叫做“匀速直线运动”。匀速直线运动的速度很好求，只要用距离s除以时间t，就得到物体在任一时刻的瞬时速度v，即v＝st。
可是，风儿哪能不吹，海水哪能不动，船只在大海中航行，速度不可能是一成不变的，这时船的瞬时速度又怎样求呢？前面求得的4米／秒又算什么速度？为了解决这个问题，我们不妨先假定船是沿直线前进，是变速直线运动。在这种情况下，4米／秒虽然不是瞬时速度，可是还很有用，它代表船在十秒内的“平均速度”。
平均速度是什么意思呢？
比如说这学期，你们班的数学考过三次，你的成绩分别是84，85，92。为了对你这学期数学学习成绩有个总的了解，需要求出平均成绩：（84＋85＋92）／3＝87（分）。
尽管你在这三次考试中，没有一次得87分，但是，87分却表示了你这学期数学学习总的情况。平均速度的意思也是这样。
变速直线运动的平均速度也好求，我们可以先求出船在一段时间内的平均速度，然后再来想办法求瞬时速度。
瞬时速度
假设船由A出发，沿直线航行到了C，我们可以用靠拢的方法，来求船在B点的瞬时速度。
第一步，以B为起点，量出BD1（s1）＝90米，记录船从B到D1所用时间t1＝4秒。这样，我们可以求出船在BD1一段的平均速度v1：v1＝s1t1＝904＝22.5（米／秒）第二步，缩短BD1的距离，取BD2（s2）＝43米，记录船由B到D2的时间t2＝2秒。这样，船在BD2一段的平均速度是v2：v2＝s2t2＝433＝21.5（米／秒）BD2的距离比BD1小，平均速度v2，应该比平均速度v1更接近船在B点的瞬时速度。
可以想像，随着距离s的不断缩短，求出来的平均速度v，应该越来越接近B点的瞬时速度。
我们把距离缩短的过程和计算结果列成一个表：距离（米）时间（秒）平均速度v（米／秒）90422.543221.5331.5721200.9620.8120.5820.67.840.3920.1
从表中可以看出，随着距离的不断缩短，船的平均速度越来越接近20米／秒。这样，我们自然会推想20米／秒，就应该是船过B点的瞬时速度。
你看，用平均速度去逼近瞬时速度，多么像用圆内接正多边形面积去逼近圆面积啊！
我国古代数学家用割圆的方法，只能求出圆面积的近似值。上面，我们用缩短距离的方法，也只能求出瞬时速度的近似值。可是我们要求的并不是近似值，而是瞬时速度本身。
当然，我们可以想方设法，尽量缩短测量距离，使求出来的平均速度，尽量接近瞬时速度。
但是，我们也必须清楚地看到，只要距离s不等于零，用st算出来的平均速度，总要和瞬时速度相差那么一点。干脆让s＝0吧，s＝0了，t也必然等于零，这时st就变成为00了。这可不成啊，老师再三强调零不能作分母。
你看，瞬时速度就在眼前，离我们越来越近了，可就是眼巴巴地摸不着它。
世上无难事，只怕有心人。开普勒和卡瓦利里勇于革新，创造出了求面积的新方法；牛顿在求瞬时速度上，也作了大胆的尝试。
牛顿割尾巴
牛顿认真分析了平均速度和瞬时速度的关系，提出了计算瞬时速度的新方法。下面，我们来介绍一下牛顿的新方法：假设有一只船从0点出发，作变速直线运动，一秒钟走了一米，二秒钟走了四米，三秒钟走了九米，……分析一下上面几个数，船走过的距离，正好等于时间的平方。就是1秒钟走了12米，2秒钟走了22米，3秒钟走了32米，……t秒钟走了t2米。s＝t2，反映了这只船的运动规律。
现在，假设我们要求第二秒末的瞬时速度。
船在第二秒末走到了B点，B点距离O点4米。根据前面求瞬时速度的办法，求第二秒末的瞬时速度，需要先求出平均速度。我们不妨让船由B点再向前走一小段时间。
因为我们给出的时间很小很小，小得与众不同了，我们在t的前面加上一个希腊字母△（读delta），写成△t，好和一般的时间有所区别。
在时间△t内，船又向前走了多少米呢？这可以算出来，船2秒钟走了22米，（2＋△t）秒走了（2＋△t）2米。它们的差（2＋△t）2－22，就是△t秒内船走过的距离。这个距离也很小，我们用类似的记号△s来表示，得到△s＝（2＋△t）2－22＝〔22＋2×2×△t＋（△t）2〕－22＝4△t＋（△t）2这样，在△t秒内的平均速度v应该是：v＝△s△t＝4△t＋（△t）2△t＝4＋△t（米／秒）
牛顿心里很清楚，只要△t不等于零，平均速度v总要带着一个小尾巴——△t。拖个小尾巴的蝌蚪，如果不去掉尾巴，就变不成青蛙；带小尾巴的平均速度，如果不去掉小尾巴△t，也永远变不成瞬时速度。
牛顿采取果断措施，大胆令最后结果中的△t＝0，割掉了平均速度的尾巴。他认为割掉了尾巴的平均速度，就应该是瞬时速度。
用牛顿的方法，我们要求船在第二秒末的瞬时速度，只要令4＋△t中的△t＝0，割掉尾巴，就得到了第二秒末的瞬时速度4米／秒。
牛顿用这种割尾巴的办法，求出了很多变速运动的瞬时速度，经过实践的检验，结果都是对的。瞬时速度这个可望而不可及的东西，终于被牛顿智慧的手给捉住了！
牛顿割尾巴的新方法，推动了数学和物理学的研究和发展。
主教的诬蔑
科学反对迷信，冲击神权，是教会的死对头。牛顿求瞬时速度的新方法，遭到了教会的敌视和反对。
1734年，英国出版了大主教贝克莱写的一本书，正题叫《分析学者》，副题叫《致不信神的数学家》，恶毒攻击牛顿发明的新方法。
贝克莱说，牛顿在求瞬时速度的过程中，首先用△t除等式两边。因为数学上规定零不能作除数，所以作为除数的△t不能等于零；可是牛顿最后又采取割尾巴的方法，令△t等于零。
这样，△t一会儿是零，一会儿又不是零，这不是自相矛盾吗？△t既然代表时间，它应该是一个数量。这个忽儿是零，忽儿又不是零，虚无缥缈、飘泊不定的数量△t，不正是我们教会里所说的鬼魂吗！不过它不是消失了肉体的人的鬼魂，而是消失了数量的量的鬼魂。
贝克莱对牛顿的攻击，完全是为了维护教会的神权统治。他说的什么“量的鬼魂”，纯粹是胡言乱语。但是，贝克莱却提出了一个值得重视的问题：△t到底是不是零？
前面讲到，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，他说不清楚每个小扇形的面积到底是多小；卡瓦利里把面积看成是无穷多条线段的和，他也从未解释过，为什么没有宽度的线段能组成面积。现在，牛顿求瞬时速度，他也说不清楚△t到底是不是零。
这些说不清楚的问题，后来终于说清楚了，这就是极限思想的建立。
